des tétraèdres remarquables

Un tétraèdre ("quatre faces") est le plus simple des polyèdres : ses quatre sommets définissent quatre faces triangulaires assemblées par six arêtes.
Le tétraèdre régulier et le tétraèdre trirectangle régulier s'obtiennent facilement à partir d'un cube.

quelques propriétés des tétraèdres

• Il n'est peut-être pas inutile de rappeler que le tétraèdre est le polyèdre "le plus simple" : on ne peut avoir moins de 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes (avec 3 sommets et 3 côtés, le triangle est le polygone "le plus simple").
  Un tétraèdre n'a pas de diagonale (les six segments joignant deux des quatre sommets sont des arêtes).
  Le volume V d'un tétraèdre est le tiers du volume du prisme qui a même base d'aire A et même hauteur h : V=(A×h)/3
  (voir exercice en fin de page).
  Chacune des faces du tétraèdre peut évidemment servir de base, comme chaque côté d'un triangle peut servir de base pour le calcul de son aire : A=(l×h)/2.
   
• Généralisation des "centres" d'un triangle : tout tétraèdre est inscriptible dans une sphère et admet une sphère inscrite (tangente à ses faces).
   

  Les quatre perpendiculaires aux plans des faces et passant par les centres des cercles circonscrits aux faces sont concourantes au centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. Le centre I de la sphère inscrite à un tétraèdre (ABCD) vérifie  I = (Sa/S)A+(Sb/S)B+(Sc/S)C+(Sd/S)D  où Sa, Sb, Sc et Sd sont les aires des faces opposées à A, B, C et D respectivement, et  S=Sa+Sb+Sc+Sd ; son rayon r vérifie  r=3V/S  (en décomposant le tétraèdre en quatre tétraèdres de sommet commun I on a  V=Sr/3 ) et  1/r = 1/h1+1/h2+1/h3+1/h4  où les hi sont les hauteurs du tétraèdre et V son volume. Dans un triangle ABC le centre I du cercle inscrit vérifie  I = (a/p)A+(b/p)B+(c/p)C  où a, b et c sont les longueurs des côtés opposés à A, B et C respectivement, et  p=a+b+c  le périmètre du triangle ; son rayon r vérifie  r=2S/p  et  1/r = 1/h1+1/h2+1/h3  où les hi sont les hauteurs du triangle et S son aire. La détermination des centres et le calcul des rayons ne sont pas aisés pour un tétraèdre sans propriété particulière. Évidemment, dans le cas du tétraèdre régulier les choses sont simples (voir exercice en fin de page). Remarques : Outre la sphère inscrite, il existe aussi quatre sphères exinscrites, comme il existe trois cercles exinscrits dans un triangle. Seuls les tétraèdres de Crelle admettent une inter-sphère (tangente à ses six arêtes).   Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant trois des sommets du tétraèdre (points rouges) avec le pointeur de la souris.

  Le centre de gravité (isobarycentre des sommets) est le point de concours des quatre segments joignant chacun un sommet au centre de gravité de la face opposée ; il est situé au quart de chacun de ces segments, en partant de la face.
  En général un tétraèdre n'a pas d'orthocentre (voir tétraèdres orthocentriques).

• Généralisation de la formule de Héron (volume du tétraèdre) : pour un tétraèdre d'arêtes opposées a et a', b et b', c et c'
  V²=[4a²b²c²-a²(b²+c²-a'²)²-b²(c²+a²-b'²)²-c²(a²+b²-c'²)²+(b²+c²-a'²)(c²+a²-b'²)(a²+b²-c'²)]/144

  Le volume de ABCD est le sixième du volume du parallélépipède construit à partir des arêtes [AB], [AC] et [AD] (aire de base moitié, même hauteur). En fonction des coordonnées des sommets A(ax,ay,az), B(bx,by,bz), C(cx,cy,cz) et D(dx,dy,dz), il s'exprime à l'aide d'un déterminant :

  aire d'un triangle par Héron : côtés a, b et c,   A²=s(s-a)(s-b)(s-c)   où s=(a+b+c)/2 est le demi-périmètre.
  aire d'un quadrilatère convexe : côtés a, b, c et d   A²=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd×cos(S)²
        où s=(a+b+c+d)/2 est le demi-périmètre et S la demi-somme de deux angles opposés ; pour les quadrilatères inscriptibles cos(S)=0

• Tout tétraèdre est "inscriptible" dans un parallélépipède de volume le triple de celui du tétraèdre.
  

  preuve : le calcul est facile dans le cas d'un tétraèdre régulier inscrit dans un cube d'arête 1 (chacun des quatre tétraèdres trirectangles a un volume de 1/6 ; il reste donc 1/3 pour le tétraèdre régulier). On généralise facilement : les quatre pyramides ont même volume (même hauteur, celle du parallélépipède, et bases de même aire, la moitié de celle de la base du parallélépipède). Les arêtes du tétraèdre sont six des douze diagonales des faces du parallélépipède. Les six autres diagonales des faces du parallélépipède définissent un second tétraèdre de même volume. La réunion de ces deux tétraèdres est un "anti-parallélépipède" (anticube déformé). Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant les sommets du tétraèdre (points jaunes) avec le pointeur de la souris. La touche "f" est une bascule d'affichage des faces ou seulement des arêtes.

• Première généralisation du théorème de Varignon (quadrilatère gauche) :
  les trois segments joignant les milieux d'arêtes opposées d'un tétraèdre ont même milieu.

  Dans tout quadrilatère (même non convexe ou croisé) les milieux des côtés sont les sommets d'un parallélogramme. Si le quadrilatère a ses diagonales de même longueur (resp. perpendiculaires) alors on obtient un losange (resp. un rectangle). Quatre points définissent trois quadrilatères (sur la figure de gauche l'un est convexe et les deux autres sont croisés) dont les trois parallélogrammes de Varignon ont même centre (le milieu commun de leurs diagonales). Dans la seconde configuration les trois quadrilatères sont non convexes et non croisés. Dans tout quadrilatère les trois segments joignant les milieux de côtés opposés et les milieux des diagonales ont même milieu (point de Varignon). Le théorème reste vrai dans l'espace (figure de droite) : les quatre points non coplanaires sont alors les sommets d'un tétraèdre ; on peut voir sur l'applet ci-dessus que le milieu commun est le centre du parallélépipède. Voir aussi l'octaèdre de Varignon dont les sommets sont les milieux des arêtes d'un tétraèdre.

• Seconde généralisation du théorème de Varignon (du parallélogramme au parallélépipède) :
  les huit centres de gravité des faces d'un octaèdre sont les sommets d'un parallélépipède.

  Là on change vraiment de dimension (passage du plan à l'espace) :   •   quadrilatère  →  octaèdre   •   milieu d'un côté  →  centre de gravité d'une face   •   parallélogramme  →  parallélépipède Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant les sommets de l'octaèdre (points jaunes) avec le pointeur de la souris. La touche "f" est une bascule d'affichage des faces de l'octaèdre. Remarque : L'octaèdre n'a pas besoin d'être convexe : on peut considérer un quadrilatère croisé comme deux triangles qui se coupent du même côté de leur base commune ; de même un octaèdre "croisé" peut être vu comme deux "pyramides" qui se coupent du même côté de leur "base" commune (en fait il s'agit de quatre points non nécessairement coplanaires). En déplaçant les sommets de l'octaèdre on peut tester ces configurations.

  
  
• Généralisation du théorème de Pythagore : dans un tétraèdre trirectangle (trois angles droits en un sommet) le carré de l'aire de la face non rectangle est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces.
  La vérification est facile en plaçant le sommet trirectangle à l'origine d'un repère orthonormé et les trois autres sommets sur les trois axes. Le théorème de Pythagore permet de calculer les côtés a, b et c de la face non rectangle et la formule de Héron donne alors son aire.
  La réciproque est fausse (on peut construire un contre-exemple en utilisant la condition de Minkowski).
   
• Un plan passant par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre coupe ce tétraèdre en deux polyèdres de même volume.
  Ce joli résultat mérite trois preuves, toutes intéressantes :
   

  preuve 1 (Vladimir Dubrovsky) : Soit M et N les milieux de [AB] et [CD], et K (sur [AC]) et L (sur [BD]) les deux autres sommets de la coupe (en bleu clair). Une projection de direction (MN) donne un parallélogramme ACBD de centre M=N dans lequel  AK/AC = BL/BD = k. Une "moitié" de (ABCD) est formé d'une pyramide (CKMLN) et d'un tétraèdre (LBCM), la seconde de (DKMLN) et (KADM), et   vol(CKMLN) = vol(DKMLN)   car ils ont la même base et même hauteur   vol(LBCM) = vol(KADM) = (k/2)×vol(ABCD)   bases(ABCD)/2 et hauteurs(ABCD)×k Si K=A et L=B (ou K=C et L=D) les deux "moitiés" sont des tétraèdres de même volume : hauteur(ABCD) et base(ABCD)/2.		projection
  preuve 2 (Vladimir Dubrovsky) : Considérons les sections de (ABCD) parallèlement à (AB) et (CD). Ce sont des parallélogrammes, et la section coupe chacun d'eux en deux parties égales symétriques (voir la projection considérée ci-dessus). Alors l'égalité des volumes des deux solides découle du "principe de Cavalieri". preuve 3 (Georges Lion) : Considérons la symétrie ayant pour axe la droite joignant les milieux des deux arêtes opposées parallèlement au plan défini par les directions de ces deux arêtes ;  elle préserve le tétraèdre, le plan de section et donc échange les deux "moitiés". Cette symétrie n'est pas orthogonale mais c'est une application affine dont l'application linéaire associée a pour déterminant 1, elle conserve donc les volumes. Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant les cinq points rouges avec le pointeur de la souris (le point définissant la section ne suit pas toujours le mouvement du pointeur !). généralisation : Si un plan divise deux arêtes opposées d'un tétraèdre dans un rapport donné, alors il divise le volume du tétraèdre dans le même rapport. (Altshiller-Court 1979, page 89)

les tétraèdres équifaciaux (faces isométriques)

les tétraèdres orthocentriques

les tétraèdres isodynamiques

les tétraèdres de Crelle

des patrons de tétraèdres

Le patron du tétraèdre régulier est bien connu (un triangle équilatéral avec son triangle des milieux) ; on en déduit facilement le patron du tétraèdre trirectangle régulier.
Voici le second patron du tétraèdre régulier :
Un triangle plié selon les côtés de son triangle des milieux est le patron d'un tétraèdre équifacial (le triangle doit avoir trois angles aigus.). Trois plis transforment un carré en patron d'un tétraèdre trirectangle. Un carré peut aussi être le patron d'un tétraèdre équifacial.
Quand on rabat une face latérale d'une pyramide sur son plan de base, on remarque que la hauteur de cette face pivote autour de son pied. On en déduit la construction du patron d'un tétraèdre : On choisit le triangle de base et un point S (projection du sommet) qui peut être choisi sur un côté ou hors du triangle de base. Chaque triangle latéral a une hauteur passant par S, sur laquelle se trouve son troisième sommet. On choisit l'un d'eux (S' par exemple, avec HS'>HS) et on en déduit les deux autres par report des longueurs des côtés. On peut choisir la hauteur SS'=h en construisant le triangle rectangle HSS'.

des coupes dans un tétraèdre

Si on coupe un tétraèdre SABC par un plan parallèle à la face ABC, par exemple à mi-hauteur, on obtient un pentaèdre (tronc de pyramide avec trois faces latérales trapézoïdales dont le volume est 7/8 du volume du tétraèdre). Les hauteurs des trois trapèzes ne sont évidemment pas égales, mais il existe une direction de l'espace selon laquelle elles le paraissent. On peut la chercher expérimentalement en modifiant la position du solide.

Passons de l'espace au plan par projection du sommet S en S' sur le plan (ABC). La coupe à mi-hauteur est alors un triangle A'B'C', et le théorème des milieux dans un triangle prouve que A'B'C' est une réduction de ABC (pour un rapport de réduction différent de 1/2 on utilise le théorème de Thalès, ou une homothétie de centre S'). Pour que les trois trapèzes aient même hauteur, il faut et il suffit que chaque sommet de A'B'C' soit équidistant de deux côtés de ABC, donc appartienne à la bissectrice du secteur. Finalement, S' doit être le centre I du cercle inscrit à ABC. La direction cherchée est donc celle de (SI).

Voir aussi les pages consacrées aux décompositions du parallélépipède, aux symétries tétraédriques, et aux kaléïdocycles.

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avril 1999 mis à jour 03-01-2014