sphères tangentes aux plans des faces d'un tétraèdre

Notations : dans le tétraèdre ABCD on note par a, b, c et d les aires des faces opposées à A, B, C et D, et par V son volume.

Outre la sphère inscrite (en vert), tangente aux faces, il existe aussi quatre sphères exinscrites (en orange), tangentes à une face et aux plans des trois autres.
Plus curieux, il existe aussi trois autres sphères appelées "sphères de comble" (en rouge) ; elles sont tangentes aux quatre plans des faces, et logées dans des alvéoles en forme de toit (d'où leur nom), le faîte du comble étant une arête du tétraèdre.


tétraèdre régulier : sphère inscrite
et quatre sphères exinscrites (pas de sphère de comble)


un tétraèdre avec les cinq sphères (ex)inscrites
et les trois sphères de comble


Utilisez la touche "f" (bascule d'affichage des polygones bleus) pour bien voir les sphères.

Le rayon de la sphère inscrite vaut  3V/(a+b+c+d)  et celui de la sphère exinscrite opposée à D vaut  3V/(a+b+c-d).
Le second cas ci-dessus est le plus fréquent, cependant il existe des tétraèdres avec seulement une ou deux sphères de comble. D'après David Pigeon (voir référence) l'existence de ces sphères est liée aux aires des faces du tétraèdre et leurs rayons aux signes des coordonnées barycentriques de leurs centres.
Il ne peut y avoir de sphères tangentes dans deux combles opposés (leurs rayons seraient opposés), donc il y en a au plus trois.

propriété clef : Si  a+b > c+d  alors il existe une sphère tangente de rayon  rab=3V/(a+b-c-d)  dans le comble de faîte [AB].
Toute inégalité de ce type conduit à une sphère de comble.

Avec par exemple  a ≥ b ≥ c ≥ d  tous les cas possibles conduisent à cinq configurations différentes :
 •  a = b = c = d : PAS de sphère de comble (c'est le cas des tétraèdres équifaciaux)
 •  a = b > c = d : a+b > c+d  donc UNE sphère dans le comble de faîte [AB]
 •  a ≥ b ≥ c > d  et  a+d = b+c :  a+b > c+d  et  a+c > b+d  donc DEUX sphères dans les combles de faîtes [AB] et [AC]
 •  a ≥ b ≥ c > d  et  a+d ≠ b+c : trois inégalités  a+b > c+d ,  a+c > b+d  et ( a+d > b+c  ou  b+c > a+d ) donc TROIS sphères dans les combles de faîtes [AB], [AC] et ([AD] ou [BC]), et deux configurations différentes
 •  a > b ≥ c = d : a+b > c+d ,  a+c > b+d  et  a+d > b+c  donc TROIS sphères dans les combles de faîtes [AB], [AC] et [AD], soit la première configuration ci-dessus

Voici cinq autres exemples pour illustrer les différentes configurations :




Merci à mon ami Nicolas Hannachi pour m'avoir incité à visiter les combles des tétraèdres, images à l'appui.

tétraèdre équifacial (PAS de sphère de comble)

tétraèdre avec UNE sphère de comble

tétraèdre avec DEUX sphères de comble

pyramide régulière trirectangle (TROIS sphères de comble)
les faîtes des trois combles ont un sommet commun

pyramide régulière pointue (TROIS sphères de comble)
les faîtes des trois combles sont les côtés d'une face


référence : Sphères des combles  de David Pigeon - 2010


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mis à jour 07-04-2013