Notations : dans le tétraèdre ABCD on note par a, b, c et d les aires des faces opposées à A, B, C et D, et par V son volume.
Outre la sphère inscrite (en vert), tangente aux faces, il existe aussi quatre sphères exinscrites (en orange), tangentes à une face et aux plans des trois autres.
Plus curieux, il existe aussi trois autres sphères appelées "sphères de comble" (en rouge) ; elles sont tangentes aux quatre plans des faces, et logées dans des alvéoles en forme de toit (d'où leur nom), le faîte du comble étant une arête du tétraèdre.
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Utilisez la touche "f" (bascule d'affichage des polygones bleus) pour bien voir les sphères. |
Le rayon de la sphère inscrite vaut 3V/(a+b+c+d) et celui de la sphère exinscrite opposée à D vaut 3V/(a+b+c-d).
Le second cas ci-dessus est le plus fréquent, cependant il existe des tétraèdres avec seulement une ou deux sphères de comble. D'après David Pigeon (voir référence) l'existence de ces sphères est liée aux aires des faces du tétraèdre et leurs rayons aux signes des coordonnées barycentriques de leurs centres.
Il ne peut y avoir de sphères tangentes dans deux combles opposés (leurs rayons seraient opposés), donc il y en a au plus trois.
propriété clef : | Si a+b > c+d alors il existe une sphère tangente de rayon rab=3V/(a+b-c-d) dans le comble de faîte [AB].
Toute inégalité de ce type correspond à une sphère de comble. |
Avec par exemple a ≥ b ≥ c ≥ d tous les cas possibles conduisent à cinq configurations différentes :
• a = b = c = d : PAS de sphère de comble (c'est le cas des tétraèdres équifaciaux)
• a = b > c = d : a+b > c+d donc UNE sphère dans le comble de faîte [AB]
• a ≥ b ≥ c > d et a+d = b+c : a+b > c+d et a+c > b+d donc DEUX sphères dans les combles de faîtes [AB] et [AC]
• a ≥ b ≥ c > d et a+d ≠ b+c : trois inégalités a+b > c+d , a+c > b+d et ( a+d > b+c ou b+c > a+d ) donc TROIS sphères dans les combles de faîtes [AB], [AC] et ([AD] ou [BC]), et deux configurations différentes
• a > b ≥ c = d : a+b > c+d , a+c > b+d et a+d > b+c donc TROIS sphères dans les combles de faîtes [AB], [AC] et [AD], soit la première configuration ci-dessus
Voici cinq autres exemples pour illustrer les différentes configurations : Merci à mon ami Nicolas Hannachi pour m'avoir incité à visiter les combles des tétraèdres, images à l'appui. |
tétraèdre équifacial (PAS de sphère de comble) |
tétraèdre avec UNE sphère de comble |
tétraèdre avec DEUX sphères de comble |
pyramide régulière trirectangle (TROIS sphères de comble)
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pyramide régulière pointue (TROIS sphères de comble)
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référence : | Sphères des combles de David Pigeon - 2010 |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | janvier 2013 mis à jour 07-04-2013 |