mis à jour 08-03-2014
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deux "tambours" pentagonaux
prisme tronqué par les milieux des arêtes antidiamant tronqué par les milieux des arêtes |
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| deux "tambours" avec des faces régulières et des losanges (Jim McNeill)
six faces de ce "tambour hexagonal" sont des losanges R2 dix faces de ce "tambour décagonal" sont des losanges d'or |
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À gauche on a coupé le cuboctaèdre en deux, orthogonalement à un axe de symétrie d'ordre 3 (la coupe est un hexagone régulier), puis on a fait pivoter une des parties de 60° ; cet assemblage de deux coupoles triangulaires est le polyèdre de Johnson J27.
Sur son dual, le dodécaèdre rhombique, la même manipulation conduit à un dodécaèdre trapézo-rhombique (six losanges ont été transformés en un anneau de trapèzes isocèles). |
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un des solides archimédiens : |
Ces deux polyèdres ont les mêmes faces régulières (8 triangles équilatéraux et 18 carrés) et des sommets tous identiques ; ils sont tous deux des assemblages de deux coupoles carrées (Johnson J04) sur les bases d'un prisme octogonal... Ils sont cependant différents !
On remarque assez facilement que celui de gauche est plus esthétique - en fait "plus symétrique" - que celui de droite (par exemple seul celui de gauche a un centre de symétrie). Ici le fait important est que chaque sommet joue le même rôle par rapport au polyèdre dans son ensemble. Le solide de Miller - ou Johnson J37 - n'a qu'un anneau "équatorial" de 8 carrés (et non trois). Remarque : le polyèdre de Miller, parfois appelé pseudo-rhombicuboctaèdre, est aussi attribué à Achkinouze et Bert. |
découvert par J. P. C. Miller... |
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Leurs duals ont les mêmes 24 faces identiques en forme de cerf-volant, mais avec deux dispositions différentes.
Ces deux polyèdres peuvent être coupés en deux parties identiques selon des "équateurs octogonaux" ; on peut ainsi passer de l'un à l'autre par rotation de 45° des deux "hémisphères". |
Remarque : cette technique de rotation d'une partie obtenue par une coupe contenant un "anneau d'arêtes" (polygone régulier) peut être appliquée à d'autres polyèdres archimédiens ; on obtient ainsi des polyèdres de Johnson (polyèdres à faces régulières).
| Ce polyèdre est le dual du S9 de Martin Trump (dont les neuf sommets sont "régulièrement" répartis sur une sphère). Trois de ses faces sont des losanges et les six autres sont des pentagones non réguliers avec un axe de symétrie. |
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| Les milieux des arêtes d'un tétraèdre définissent un octaèdre ; c'est le dual du parallélépipède dans lequel le tétraèdre est "inscrit". Ses arêtes définissent trois parallélogrammes et ses faces opposées sont symétriques par rapport à son centre (milieu commun de ses trois diagonales).
Cette figure peut être modifiée dynamiquement en déplaçant les sommets du tétraèdre (points jaunes) avec le pointeur de la souris.
voir aussi la généralisation du théorème de Varignon |
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On a tronqué les deux polyèdres semi-réguliers rhombiques par leurs sommets d'ordre maximum.
Ne confondez pas le second, qui est la structure du fullérène C80, avec l'icosaèdre tronqué (structure du C60). dodécaèdre rhombique 4-tronqué
triacontaèdre rhombique 5-tronqué
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Davantage d'exemples sur une autre page.
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | avril 1999 mis à jour 08-03-2014 |