des polyèdres sphériques

la "sphère de Campanus"

Très en vogue pendant la Renaissance, ce polyèdre est composé de n anneaux de 2n faces.
On inscrit un 2n-gone régulier dans un "cercle équatorial" , puis on inscrit des 2n-gones réguliers dans n "cercles méridiens" en utilisant comme sommets les deux pôles et deux des points précédents (opposés sur le "cercle-équateur"). Il ne reste plus qu'à compléter le polyèdre en joignant les sommets de ces n polygones par des segments parallèles à l'équateur.
Pour n=2 on obtient l'octaèdre régulier.

Juste pour le plaisir voici une approximation d'un sphéroïde aplati (ellipsoïde avec deux axes de même longueur, et l'axe "des pôles" plus court).

Notre terre ressemble à ce polyèdre, mais elle est plus jolie !

les "dômes géodésiques"

Ces polyèdres se construisent à partir des polyèdres platoniciens ; on dessine un pavage sur chaque face, puis la projection centrale sur la sphère circonscrite définit les nouveaux sommets. Fuller a largement popularisé les structures basées sur ce concept. Voici trois exemples construits à partir de l'octaèdre (triangulation en 9), du dodécaèdre (triangulation en 5) et de l'icosaèdre (triangulation en 4).

8x9=72 faces

12x5=60 faces

20x4=80 faces

répartir des points sur une sphère

Il existe différentes façons de distribuer uniformément des points sur une sphère ; Martin Trump a utilisé un modèle de n particules électriques liées à la surface de la sphère et a stabilisé le système ; il a ainsi obtenu un polyèdre convexe S_n à n sommets.
On s'attend évidemment de trouver des configurations "très symétriques". Pour les petits ensembles de points on trouve effectivement des configurations bien connues avec des symétries "riches", mais rapidement les groupes de symétries s'appauvrissent alors que l'on obtient plusieurs configurations stables pour un même nombre de points. Pour des ensembles de points plus grands les polyèdres rappellent les dômes géodésiques, avec parfois quelques quadrilatères (pas toujours des carrés).

S₄, S₆ et S₁₂ sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre réguliers.
S₅ et S₇ sont des diamants avec des faces isocèles identiques.
S₈ ressemble à l'antiprisme carré (avec des triangles isocèles).
S₉ s'apparente au deltaèdre D14 mais avec seulement deux faces opposées équilatérales (les autres sont isocèles).
S₁₀ est l'assemblage d'un antiprisme carré et des deux pyramides carrées (deux types de triangles isocèles).
S₂₄ (qui ressemble au snub cube), un S₄₈, un S₇₂ ont six faces carrées ; un S₁₆, un S₃₂, un S₄₈ n'en ont que deux.
S₈, S₁₆, S₃₂, S₄₈ ... est une suite où de nouveaux anneaux de triangles apparaissent entre deux carrés ;
le même phénomène se produit avec deux pyramides pentagonales dans la suite S₇, S₁₂, S₁₇, S₂₇ ...

Voici trois exemples (données fournies par l'applet de Bob Allanson, voir références) où les arêtes de même couleur ont même longueur et les axes de symétrie sont en pointillés :

S₁₅ : 26 faces, groupe de symétrie C₃
(un 3-axe de symétrie, pas de plan de symétrie)

S₁₆ : 24+2 faces, groupe de symétrie C_4v
(un 4-axe de symétrie et quatre plans)

un autre S₁₆ : 28 faces, groupe de symétrie T
(quatre 3-axes de symétrie, pas de plan)

deux autres polyèdres sphériques

Si on érige des pyramides sur les six faces carrées d'un snub cube on obtient un "polyèdre sphérique" à 32+6×4=46 faces triangulaires ; si on procède de même avec les douze faces pentagonales d'un snub dodécaèdre on obtient 80+12×5=140 faces triangulaires.

références :

• Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques (pages 63-64) par David Wells (Eyrolles, Paris, 1997)
• Polyhedra (pages 106-107) par Peter R. Cromwell (Cambridge University Press, 1997).
• Martin's Pretty Polyhedra (en anglais) et le générateur de "polyèdres sphériques répulsifs" de Bob Allanson
• Distributing Points on a Sphere de Paul Bourke (en anglais)
• un globe céleste polyédrique à réaliser soi-même
• Géodes par J.B. Roux (page web)

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mars 2004
mis à jour 08-07-2005