les symétries polyédriques  ( 1/2 - groupes )

Un solide est symétrique s'il apparaît de manière identique de différents points de vue. L'ensemble des symétries d'un polyèdre a une structure de groupe pour la composition (composer deux symétries consiste à effectuer l'une, puis l'autre, dans un ordre donné) :
  •   toute composée de deux symétries est une symétrie (la composition de a et b est notée a.b, comme une multiplication)
  •   la composition est associative (l'ordre de regroupement est indifférent) : (a.b).c = a.(b.c)
       mais pas commutative (l'ordre des symétries n'est en général pas indifférent) :  a.b  est en général différent de  b.a
  •   il existe une symétrie sans effet, l'identité notée 1 (comme pour la multiplication) : on toujours  a.1 = 1.a = a
  •   pour chaque symétrie s  il existe une symétrie s' qui la neutralise : s.s' = s'.s = 1
Un groupe est caractérisé par sa table (analogue à une table de multiplication) qui résume toutes les composées et qui est un "carré latin" (chaque élément apparaît exactement une fois dans chaque ligne et dans chaque colonne).
Notations classiques de groupes : Cn groupe cyclique, Dn groupe des symétries du n-gone régulier, Sn groupe des n! permutations d'un ensemble à n éléments (et son sous-groupe An des permutations paires) ...
Des groupes de même ordre avec la même structure (et donc la même table) sont isomorphes :  D1  C2  S2, D2  K, D3  S3 ...

Voici les tables des groupes les plus simples ; le plus petit groupe non commutatif est D3 (le second groupe à six éléments est C6).
Dans ces exemples (transformations géométriques du plan) 1 désigne l'identité, r une rotation, c la symétrie centrale et m une réflexion.

C1 1
1 1

C2 1 c
1 1 c
c c 1
C3 1 r r2
1 1 r r2
r r r2 1
r2 r2 1 r
C4 1 r r2 r3
1 1 r r2 r3
r r r2 r3 1
r2 r2 r3 1 r
r3 r3 1 r r2
K 1 c m m'
1 1 c m m'
c c 1 m' m
m m m' 1 c
m' m' m c 1
groupe de Klein
D3 1 r r2 m m' m"
1 1 r r2 m m' m"
r r r2 1 m" m m'
r2 r2 1 r m' m" m
m m m' m" 1 r r2
m' m' m" m r2 1 r
m" m" m m' r r2 1
La complexité de ces tables augmente vite avec le nombre d'éléments (exemples : tables des groupes de symétries tétraédriques).
On peut aussi construire des produits directs de groupes  G x H = { gh | g∈G, h∈H } et des groupes quotient  G/H = { classes selon un sous-groupe normal H }.

Une isométrie directe fait passer le solide d'une position à une position différente mais indiscernable ; c'est une rotation, notée rn , de 360°/n autour d'une droite qui est alors un n-axe de symétrie ; après n rotations le solide retrouve sa position initiale : on a effectué l'identité r1 = 1. Un demi-tour  r2  est une réflexion par rapport à une droite :  r2.r2 = 1.
L'ensemble des rotations d'un polyèdre est un groupe, et tous les axes sont concourants.

Les isométries indirectes ne peuvent être visualisées par une simple manipulation, mais requièrent un miroir.
Une réflexion par rapport à un plan est notée m, et on a m.m = 1m.m'  est une rotation autour de l'intersection des deux plans, d'angle double de l'angle dièdre des deux plans. m'.m est la rotation de sens contraire.
Une rotation-réflexion est une composée  s2n = r2n.m = m.r2n, l'axe et le plan étant orthogonaux (notons que  s2n.s2n = rn ).
s2 = -1, notée i (de l'anglais "inversion"), est la symétrie centrale (réflexion par rapport à un point), donc i.i = 1.
L'ensemble de toutes les isométries est un groupe et les isométries directes en forment un sous-groupe.  Des caractères en italique sont utilisés pour les groupes polyédriques.

les groupes de rotations d'un polyèdre

Il existe trois autres groupes sphériques de rotations (sans axe privilégié) ; ils contiennent des sous-groupes de Klein.

les autres groupes polyédriques

Dans chacun des six groupes de rotations C1 , Cn , Dn , T , O  et I , on peut introduire une ou plusieurs isométries indirectes (en général des réflexions planes) pour obtenir les autres groupes polyédriques. Les solides sans plan de symétrie sont chirals ; ils existent en deux formes (images dans un miroir) appelées énantiomorphes.

Il y a donc 17 types de symétries polyédriques :
C1   Cs   Ci
Cn   Cnv   Cnh   Dn   S2n   Dnv   Dnh
T   Td   Th   O   Oh
I   Ih

(types prismatiques)
(types cubiques)
(types icosaédriques)
Remarque : D3   C3v   et  C3h  ont la même structure (ils ne sont pas cycliques, et il n'y a que deux groupes à six éléments : C6  et D3 )

détails sur les groupes des polyèdres réguliers

des résultats intéressants

Tout groupe fini d'isométries de l'espace est un sous-groupe de l'un des cinq groupes  Dnh   Dnv   Td   Oh   et  Ih
Le meilleur moyen de bien comprendre les différents types de symétries polyédriques est de s'aider d'un assortiment de modèles ; en décorant avec différents motifs les faces latérales d'un prisme hexagonal (resp. les faces d'un cube) on peut exhiber tous les groupes prismatiques (resp. cubiques).
 

C6

C6v

C6h

D6

D3v

D6h

T

Td

Th

O

Oh

Le théorème orbite-stabiliseur :   |G|=|Orb|x|Stab|
Le nombre d'isométries est le nombre d'"objets équivalents" multiplié par le nombre d'isométries de chaque object.
exemple : les six faces équivalentes d'un cube ont comme stabilisateur D4 (huit isométries), ses huit sommets équivalents ont comme stabilisateur D3 (six isométries) et ses douze arêtes équivalentes ont comme stabilisateur K (quatre isométries) ; donc le cube a 6x8=8x6=12x4=48 isométries.

La surface d'un polyèdre régulier peut être recouverte par des triangles rectangles identiques en nombre égal à l'ordre du groupe polyédrique correspondant (6x4=24 pour le tétraèdre, 6x8=8x6=48 pour l'octaèdre et le cube, et 6x20=10x12=120 pour l'icosaèdre et le dodécaèdre). Pour tout couple de ces triangles il existe une isométrie du groupe transformant le premier en le second (si les deux triangles sont de couleur sombre/claire c'est une rotation), et on obtient tous les triangles en transformant l'un quelconque d'entre eux par toutes les isométries du groupe.
preuve : Une isométrie plane est définie par un triangle et son image ; de même une isométrie de l'espace est définie par un tétraèdre et son image.
Si on découpe le polyèdre en tétraèdres de bases les triangles et de sommet le centre du polyèdre, une isométrie du polyèdre transforme un de ces tétraèdres en un autre. En effet, le centre est invariant, un sommet est transformé en un sommet, un centre de face en un centre de face, et un milieu d'arête en un milieu d'arête. On a donc une bijection entre les isométries du polyèdre et les triangles.


Les assemblages de polyèdres, comme les kaléïdocycles, ont des groupes d'isométries qui sont souvent des produits directs de groupes : le groupe du kaléïdocycle régulier d'ordre 8 est
            D4h x C2  = D4 x C2 x C2 = {1,r,r²,r³,m,mr,mr²,mr³} x {1,μ} x {1,ω} 
où r est une rotation de 90° autour de l'axe δ du kaléïdocycle (indiqué en gris), m une réflexion par rapport à un plan contenant δ et deux arêtes opposées, μ la réflexion par rapport à un plan orthogonal à δ, et ω la rotation de 180° de l'anneau sur lui-même (elle "retourne" chaque tétraèdre mais conserve l'anneau dans son ensemble) ; il y a donc 8x2x2=32 isométries.


références : •  Polyhedra (pages 289-318) par Peter R. Cromwell (Cambridge University Press, 1997) - un arbre décisionnel
•  Point groups in three dimensions sur www.answers.com
•  Point Groups and Space Groups in Geometric Algebra  par David Hestenes.
•  des exemples simples de polyèdres canoniques illustrant les 17 types de symétrie par David I. McCooey
•  17 Types of Symmetry : pages web par Adrian Rossiter
•  the regular polyhedra of index two : page par David A. Richter
•  les symétries en cristallographie (introduction à la cristallographie - www.kasuku.ch)
•  symmetry, un diaporama (PPS, 4,3 Mo) par George Hart : groupes, sculptures (M.C. Escher), impression en 3D (sphères)
transitivité (seconde page)


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anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes mars 2004
mis à jour 13-07-2008