quelques informations techniques

polyèdres réguliers

infos 1

groupes d'isométries

infos 2

polyèdres semi-réguliers

infos 3
infos 4 Le snub cube et le snub dodécaèdre peuvent être obtenus à partir des deux polyèdres réguliers : on effectue d'abord une similitude sur chacune de ses faces (centre de la similitude au centre de la face), puis des troncatures pour créer les chaînes de faces triangulaires autour des faces transformées.
Catalan a calculé les angles et les rapports des similitudes, mais les valeurs concernant le dodécaèdre semblent fausses...
  cube : 16° 28' 7"  et  0,437593
  dodécaèdre : 22° 5' 18"  et  0,649979   (13° et 0,56 sont des valeurs approchées expérimentales plus correctes)

Coordonnées des sommets des polyèdres semi-réguliers rhombiques :

dodécaèdre :   (±1, ±1, ±1)    8 points
(0, 0, ±3/2)   permutés circulairement   6 points
triacontaèdre :  (±φ, ±φ, ±φ)    8 points
(0, ±1, ±(1+φ))   permutés circulairement   24 points

Parmi les sommets du dodécaèdre rhombique on reconnaît ceux d'un cube et ceux d'un octaèdre régulier.
Parmi les sommets du triacontaèdre rhombique on reconnaît ceux d'un dodécaèdre régulier (donc aussi ceux d'un cube) et d'un icosaèdre régulier.

Les rotations dans l'espace font partie des outils incontournables pour décrire des polyèdres. Mathematica définit une rotation à l'aide des angles d'Euler, mais il est bien plus pratique d'utiliser la matrice d'une rotation d'angle α  autour d'un axe défini par le vecteur unitaire (u,v,w) : matrice
référence : Mémoire sur la théorie des polyèdres par M.E.Catalan (Journal de l'École Impériale Polytechnique - cahier XLI - 1865)
"Perfectionner, en quelque point important, la théorie géométrique des polyèdres."
(grand prix de mathématiques de l'Académie des Sciences - 1863)


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes septembre 1999
mis à jour 17-07-2007