les symétries polyédriques ( 2/2 - transitivité )

transitivité

Quand on considère des polyèdres, "régularité" et "symétrie" sont deux concepts étroitement liés ; le premier est une condition locale et le second est un point de vue global. Les deux expriment qu'un polyèdre régulier apparaît de la même façon quand on le regarde de différentes directions. La notion de transitivité est un moyen plus précis d'exprimer que les faces ou sommets "ont le même aspect". La transitivité implique le groupe des isométries du polyèdre ; un polyèdre peut être

face-transitif (ou isohédral) si, pour toute paire de faces, il existe une isométrie du groupe qui transforme la première face en la seconde (les solides de Platon et de Catalan en sont des exemples) : toutes les faces sont dans une même orbite,
sommet-transitif (ou isogonal) si tout sommet peut être déplacé sur n'importe quel autre par une isométrie du groupe (les solides de Platon et d'Archimède en sont des exemples),
arête-transitif (ou isotoxal) si toute arête peut être amenée sur n'importe quelle autre par une isométrie du groupe ; l'arête-transitivité est toujours associée avec soit la face- soit la sommet-transitivité.

Les cinq solides de Platon sont totalement transitifs (face- sommet- et arête-) ; existe-t-il d'autres polyèdres totalement transitifs ?
Peter R. Cromwell prouve qu'il y a deux méthodes pour générer les polyèdres totalement transitifs à partir d'une liste de neuf polyèdres (les dodécaèdre et triacontaèdre rhombiques, les cinq polyèdres de Platon, le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre) : étoiler l'un des sept premiers et facetter l'un des sept derniers ; les deux produisent la même liste.
Finalement il existe quatorze polyèdres totalement transitifs : les neufs polyèdres réguliers (cinq platoniciens et quatre Kepler-Poinsot) et cinq composés (deux, cinq et dix tétraèdres, cinq cubes et cinq octaèdres).

polyèdres convexes sommet-transitifs

La transitivité facilite la description des polyèdres. Un polyèdre convexe sommet-transitif est complètement décrit par un de ses sommets et son groupe d'isométries. Inversement quels polyèdres sont créés si on applique toutes les isométries du groupe à un point donné (la "graine") ? On peut déplacer la graine sur une sphère centrée au centre du polyèdre et changer le groupe d'isométries.

Les plans des réflexions du groupe coupent la sphère selon des grands cercles qui forment un pavage de la sphère en triangles sphériques. Un n-axe de symétrie coupe la sphère aux points de concours de n grands cercles. Quand la graine se trouve à l'intérieur d'un triangle on obtient un sommet dans chaque triangle (le nombre de triangles est égal à l'ordre du groupe). Si la graine est le "centre du cercle inscrit" alors toutes les faces du polyèdre convexe sont régulières, et si on la déplace à l'intérieur du triangle (région fondamentale ) les polyèdres sont isomorphes (ont le même aspect global). D'autres classes de polyèdres apparaissent si on déplace la graine sur un grand cercle.

Ces figures interactives montrent les changements et la variété des polyèdres générés ; déplacez le gros point - la graine - avec votre souris dans le triangle fondamental.
Pour voir les polyèdres générés par les différentes groupes vous devez ouvrir les fenêtres pop-up (liens sous les figures).
(Rappels : minimisez la fenêtre principale pour voir plus facilement les fenêtres pop-up, et utilisez "f" pour cacher/montrer les faces des polyèdres.)

groupe T_d ( T_d - T_h - T )

groupe O_h ( O_h - O )

groupe I_h ( I_h - I )

groupe D_5h

groupe D_4v

références :

• Polyhedra (pages 366-393) par Peter R. Cromwell (Cambridge University Press, 1997) en anglais
• Point Groups and Space Groups in Geometric Algebra par David Hestenes (en anglais)

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décembre 2005
mis à jour 31-12-2005