les polyèdres semi-réguliers de Catalan

Ces polyèdres semi-réguliers convexes sont les duals des polyèdres archimédiens. Leurs faces sont superposables (mais pas régulières) et tangentes à une sphère (sphère inscrite) ; leurs sommets sont réguliers (de deux ou trois ordres).

C 02 C 04 C 05 C 03 C 07 C 06 C 01 C 09 C 10 C 11 C 08 C 13 C 12

polyèdres de Catalan

Chaque dessin propose un lien vers un pop-up applet (davantage sur les caractéristiques des polyèdres semi-réguliers).

Le dual du cuboctaèdre (resp. de l'icosidodécaèdre) a 12 (resp. 30) faces en losanges.
Ses sommets d'ordre 3 sont les sommets d'un cube (resp. d'un dodécaèdre régulier) ; les sommets restants sont ceux d'un octaèdre (resp. d'un icosaèdre) régulier.
On peut donc les réaliser ces polyèdres en assemblant des pyramides régulières à base carrée (resp. pentagonale) sur chaque face d'un cube (resp. d'un dodécaèdre régulier), ou des tétraèdres sur les faces d'un octaèdre (resp. icosaèdre) régulier.
dodécaèdre rhombique animations triacontaèdre rhombique
(Romé de l'Isle)     
Remarque (voir les "animations") : les six pyramides à assembler sur le cube sont des sixièmes de cube, le dodécaèdre rhombique pave donc l'espace (on obtient ce pavage en disséquant un cube sur deux dans un pavage cubique).

Les duals du snub cube et du snub dodécaèdre ont respectivement 24 et 60 faces pentagonales.
icotétraèdre pentagonal hexécontaèdre pentagonal


exercice (difficile) : Dans un cube unité on considère les trois arêtes issues d'un même sommet ; les extrémités de deux d'entre elles et le milieu de la troisième définissent un plan selon lequel on coupe un tétraèdre. On effectue les 24 coupes selon de tels plans. Décrire le polyèdre ainsi obtenu ; quel est son volume ? (solution en anglais)

les diamants et les antidiamants

Ces duals des prismes et des antiprismes complètent la liste des polyèdres semi-réguliers de seconde espèce.
(Le diamant d'ordre 4 est l'octaèdre régulier ; l'antidiamant d'ordre 3 est le cube.)

diamants et antidiamants



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anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes mars 1999
mis à jour 21-09-2004