des décompositions

décompositions d'un tétraèdre régulier en pentaèdres identiques / pyramides régulières

 Il n'est pas si évident d'assembler ce puzzle très simple (à gauche) malgré la simplicité des deux pièces.
Le patron du demi-tétraèdre (pentaèdre) est simple à dessiner : un carré auquel on attache deux triangles équilatéraux opposés et deux trapèzes isocèles opposés (bandes de trois triangles équilatéraux).

On peut maintenant décomposer chaque pentaèdre en trois pyramides régulières (à droite) ou en deux pentaèdres plus petits (ci-dessous). On obtient ainsi des puzzles plus difficiles avec six ou quatre pièces.

décompositions d'un cube en tétraèdres

40 tétraèdres, 8 réguliers (en cyan) et 32 trirectangles (8 en magenta et 24 en bleu) constituent un cube de deux manières différentes.

enlevez les 8 pyramides en magenta, il reste un cuboctaèdre

enlevez les 24 pyramides en bleu, il reste une stella octangula

on peut supprimer les tétraèdres qui forment les arêtes du cube (voir l'aide LiveGraphics3D en bas de page)

décomposition d'un parallélépipède en six tétraèdres de même volume

les quatre points jaunes peuvent être déplacés pour modifier le parallélépipède (voir l'aide LiveGraphics3D en bas de page)

preuve (Vincent Papillon) : figure de droite
Les trois tétraèdres forment un demi parallélépipède (la seconde moitié est le prisme gris).
Deux tétraèdres ont des bases de même aire (les demi parallélogrammes rouges) et même hauteur (leur bases sont coplanaires et ils ont le même quatrième sommet) ; ils ont donc même volume. Ceci est aussi vrai pour les deux tétraèdres avec des bases vertes. Les trois tétraèdres ont donc même volume, et de même pour les trois tétraèdres qui constituent le prisme. Les six tétraèdres (animation de gauche) ont donc même volume.
remarque : Ce résultat est aussi la preuve que le volume d'un tétraèdre est le sixième de celui du parallélépipède avec lequel il partage trois arêtes. Sur la figure de droite le tétraèdre avec la face verte (où les trois arêtes communes ont un sommet commun) et celui avec la face rouge ont cette propriété ; à gauche il y en a deux autres.

la même que ci-dessus, avec des couleurs vives

une autre décomposition de même type
exercice : prouver que les six tétraèdres ont même volume


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anglais 		polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes novembre 2003
mis à jour 20-01-2016