des stellations

Le plan de chaque face d'un polyèdre coupe souvent les plans d'autres faces non adjacentes. On obtient ainsi de nouveaux polyèdres, généralement non convexes, par "stellations" successives. Plus précisément, deux polyèdres sont des stellations l'un de l'autre, si leur faces sont incluses dans le même ensemble de plans. Des stellations différentes peuvent paraître identiques, avec des parties de faces cachées, mais une seule est formée de toutes les parties visibles.
Les trois stellations successives du dodécaèdre régulier conduisent au petit dodécaèdre étoilé (12 pentagones étoilés, mais 60 triangles visibles), puis au grand dodécaèdre (12 pentagones convexes, et encore 60 triangles visibles), et enfin au grand dodécaèdre étoilé (à nouveau 12 pentagones étoilés, et toujours 60 triangles visibles).
Quant au grand icosaèdre (20 triangles équilatéraux, 120+60 triangles visibles), Cauchy a prouvé que c'est l'une des 59 stellations de l'icosaèdre régulier, parmi lesquelles on trouve aussi les composés de cinq tétraèdres, de dix tétraèdres, et de cinq octaèdres.
La stellation de l'octaèdre régulier est l'étoile de Kepler (anticube) composée de deux tétraèdres(24 triangles équilatéraux visibles).
La première stellation de l'icosaèdre régulier a vingt faces hexagonales non régulières (60 triangles visibles).
La première stellation du dodécaèdre rhombique est un solide composé de trois octaèdres identiques non réguliers, "aplatis" selon une diagonale (48 triangles visibles) ; il est surprenant de découvrir qu'il réalise un pavage de l'espace.

la seule stellation
de l'octaèdre régulier

première stellation
de l'icosaèdre régulier

première stellation
du dodécaèdre rhombique

La première stellation du cuboctaèdre (6x4+8x3=48 triangles visibles) est le composé de deux polyèdres duals (cube et octaèdre régulier) ; de même la première stellation de l'icosidodécaèdre (20x3+12x5=120 triangles visibles) est le composé d'un dodécaèdre et d'un icosaèdre réguliers.

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On peut aussi créer facilement de jolies "étoiles polyédriques" en élevant des "pointes" (pyramides régulières) sur les faces de polyèdres convexes, mais notez : ces polyèdres ne sont pas des stellations d'un polyèdre, seulement des assemblages de pyramides sur un polyèdre convexe. En voici deux exemples :

cuboctaèdre avec 6+8 = 14 pointes

icosidodécaèdre avec 12+20 = 32 pointes

On peut en voir de nombreux exemples aux sommets des édifices religieux :
Star polyhedra on churches de Tibor Tarnai, János Krähling et Sándor Kabai (en anglais, avec de nombreuses illustrations).

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anglais 		polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes juillet 1999
mis à jour 16-07-2022