théorie de la stellation : exemple du dodécaèdre

L'ensemble des plans contenant les faces d'un polyèdre convexe partitionne l'espace en un ensemble de cellules. Le polyèdre lui-même est l'une de ces cellules (le noyau central), et il y a des cellules non bornées (ie "infinies") sans intérêt. Si l'angle des faces est supérieur à 90° il y a plusieurs couches de cellules bornées qui peuvent être assemblées pour former de nouveaux polyèdres.

Le dodécaèdre régulier est entouré de trois couches de cellules bornées : 12 pyramides pentagonales d'or, puis 30 coins (tétraèdres) qui s'insèrent entre les pyramides, et enfin 20 pointes (bipyramides triangulaires) qui s'ajustent entre les coins. Les animations ci-dessous montrent comment chaque couche recouvre entièrement la précédente pour former une nouvelle stellation.

dodécaèdre A
(voir notation de Du Val ci-dessous)

première stellation B :
dodécaèdre + 12 pyramides
      = petit dodécaèdre étoilé

deuxième stellation C :
petit dodécaèdre étoilé + 30 coins
      = grand dodécaèdre

troisième stellation D :
grand dodécaèdre + 20 pointes
      = grand dodécaèdre étoilé

Ces trois animations sont dessinées à la même échelle.

Les trois stellations du dodécaèdre sont des polyèdres réguliers non convexes (le grand icosaèdre est une stellation de l'icosaèdre).

Avec l'icosaèdre les choses se compliquent : 473 cellules bornées de 12 types permettent un nombre considérable de combinaisons parmi lesquelles il faudra décider lesquelles sont "acceptables".
Les règles de Miller définissent une "stellation" :
 - les faces doivent appartenir aux plans des faces du polyèdre original,
 - les régions composant les faces doivent être les mêmes dans chaque plan,
 - les régions incluses dans un plan doivent avoir la même symétrie axiale qu'une face du polyèdre original,
 - les régions incluses dans un plan doivent être accessibles dans la stellation complète,
 - les composés de stellations plus simples sont exclus.
La stellation préserve donc les axes de symétrie du polyèdre original.
Selon ces critères l'icosaèdre admet 59 stellations (voir exemples sur une autre page), dont 31 avec des plans de symétrie.

La notation de Du Val permet de classer les cellules et de décrire lesquelles sont utilisées dans une stellation donnée : les couches successives sont notées a, b, c, d...  Les majuscules indiquent que toutes les couches précédentes sont utilisées (exemple : C=abc pour les trois premières couches).
Pour le dodécaèdre on a donc a (le dodécaèdre), b (les 12 pyramides), c (les 30 coins), et d (les 20 pointes).
Avec l'icosaèdre on a huit couches de cellules dans douze ensembles : a, b, c, d, e=e1+e2, f=f1+f2=(f11+f12)+f2, g=g1+g2 et h.
C est le composé de cinq octaèdres, G est le grand icosaèdre, et H, composé de toutes les cellules, est l'icosaèdre complet.

références : •  Polyhedra par Peter R. Cromwell (pages 263-267), Cambridge University Press, 1997 (en anglais)
•  http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-info.html par George W. Hart (en anglais)
•  Stella : Navigateur de Polyèdres  par Robert Webb (publié dans Symmetry: Culture and Science, vol.11 n°1, 2000)
•  stellation de polyèdres, applet de Vladimir Bulatov (le programme peut être téléchargé gratuitement)

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anglais 		polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes février 2004
mis à jour 04-07-2005