le nombre d'or

phi formules
Il est intéressant de noter que toute suite définie comme la suite de Fibonacci par f(n+1)=f(n)+f(n-1) conduit au nombre d'or, quelles que soient les deux valeurs initiales f(0) et f(1) : f(n+1)/f(n) -> φ.  Mais le nombre d'or est aussi le nombre irrationnel le moins bien approché par des nombres rationnels puisque les parties entières de sa fraction continue sont toutes égales à 1 !
Remarque : Tout entier naturel non nul s'écrit de manière unique comme somme de nombres non consécutifs de la suite Fibonacci (théorème de Zeckendorf).
exemple : 33=21+8+3+1   par soustractions successives de nombres de la suite de Fibonacci (les plus grands possibles) :  33-21=12   12-8=4   4-3=1

trois constructions de la section dorée

On construit 0, U et G tels que OG/OU=φ, ainsi OG=φ si on choisit OU comme unité.
construction 1 construction 2 construction 3
à partir d'un triangle rectangle OIV avec OV=2×OI
- construction classique -
à partir d'un triangle équilatéral et d'un carré
- Michel Bataille -
à partir de trois segments de même longueur
OM=UN=GP (N et P milieux de [OM] et [UN])
- Jo Niemeyer -

des figures d'or classiques

figures d'or construction du
 pentagone régulier

Un simple noeud réalisé avec une bande de papier, puis soigneusement aplati est un "noeud d'or" ; il suffit de replier une des extrémités de la bande pour obtenir un pentagramme complet (pentagone régulier convexe avec ses cinq diagonales qui sont les côtés d'un pentagone régulier étoilé). Le rapport des côtés de ces deux pentagones réguliers est le nombre d'or φ.
Un rectangle dont le rapport longueur/largeur est égal à φ est un rectangle d'or ; sa construction est simple (avec AB=2AU, ABCD et ABC'D' sont deux rectangles d'or, et on obtient le premier en ajoutant un carré au second).
Les sommets de trois rectangles d'or deux à deux orthogonaux sont les sommets d'un icosaèdre régulier ; plus généralement deux arêtes opposées d'un icosaèdre régulier définissent un rectangle d'or (il y en a donc 15).
Un losange dont le rapport des diagonales est égal à φ est un losange d'or (ses sommets sont les milieux des côtés d'un rectangle d'or).
Le pentagramme fait apparaître plusieurs sections dorées et plusieurs exemplaires des deux types de triangles d'or : triangles isocèles dont le rapport des côtés égal à φ, leurs angles mesurent  72°-36°-72°  et  36°-108°-36°  (remarque : cos π/5 = φ/2).

Une ellipse inscrite dans un rectangle d'or est une ellipse d'or (rapport des axes égal à φ).
Ses foyers F' et F sont faciles à construire (M étant un point de l'ellipse, si AB=1, alors  MF'+MF = F'F² = φ). Son aire est πφ (pour AB=1).
Son excentricité e est égale à la distance foyer-directice d (si AB=2, alors  e = d = 1/√φ).

Avec des suites de rectangles ou de triangles d'or emboîtés, on obtient facilement de jolies "spirales d'or". Ces tracés approchent des spirales logarithmiques, aussi appelées spirales équiangles (angle tangentiel constant) ou spirales de Bernoulli ; elles sont invariantes par similitude. Jacques Bernoulli a fait graver sur sa tombe "eadem mutata resurgo" que l'on peut traduire par "déplacée, je renais identique à moi-même".
Sur le dessin de gauche le centre de similitude est l'intersection des diagonales des rectangles, le rapport 1/φ, et l'angle -π/2 ; le rayon est donc multiplié par φ4≅6,9 à chaque tour. Sur la spirale de droite ce coefficient est environ 5, alors que pour la coquille du nautile (au milieu) il ne vaut qu'environ 3 !

spirales d'or

Dame Nature utilise ces spirales pour assurer des croissances harmonieuses (fleurs, fruits, coquilles, cornes... galaxies).

Des espèces végétales implantent des écailles (pomme de pin), des graines (tournesol)... sur une spirale en créant un objet tous les 137,5...°. Ces objets sont alors disposés en arcs de spirales orientées dans les deux sens ; les nombres d'arcs (dans les deux sens) sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.
L'angle d'or ci-dessus correspond au partage du cercle en deux arcs de longueurs proportionnelles à 1 et φ :  a/1 = b/φ = (a+b)/(1+φ) = 2π/φ² rad = 360°/φ².
pomme pin & fleur tournesol
Rectangle d'or, ellipse d'or, pentagramme, spirale d'or... sont généralement considérés comme particulièrement harmonieux. Il n'est donc pas étonnant que le nombre d'or soit largement utilisé en peinture et en architecture.
Il apparaît par exemple dans la pyramide en verre du Louvre, à Paris : pour une base carrée de côté 2, sa hauteur est √φ (donc la hauteur principale de chacune de ses faces latérales est φ).
Remarque : le triangle rectangle de côtés 1, √φ et φ (réciproque de Pythagore : 1+φ = φ²) conduit à un autre angle remarquable  α = 51,827...°  avec  cos(α) = 1/φ  et  sin(α) = 1/√φ
pyramide du Louvre

les pavages de Penrose

En assemblant deux triangles d'or identiques on obtient deux paires de quadrilatères (flèche et cerf-volant - losanges maigres et gras) qui permettent de réaliser de beaux pavages avec une symétrie d'ordre 5 (étoiles et soleils ci-dessous).
Un autre exemple d'un pavage de ce type imaginé par Nicolas Hannachi (on peut y remarquer une condition d'assemblage).

étoile-soleil 1 étoile-soleil 2
pavés de Penrose 1 pavés de Penrose 2

Pour obtenir des pavages non périodiques du plan on doit utiliser une règle d'assemblage : les pavés doivent être disposés de manière à ce que chaque arc de chaque pavé soit connecté aux arcs des pavés voisins. Comme les deux paires utilisent des triangles d'or, on comprend qu'un pavage de flèches et cerfs-volants peut être traduit en un pavage de losanges, et vice versa.

Penrose cerf_volants, flèches losanges de Penrose

Découverts par Roger Penrose en 1974, ces pavages ont de curieuses propriétés, parmi lesquelles :
  • toute région finie d'un pavage de Penrose apparaît une infinité de fois dans tout pavage de Penrose,
  • il existe de petites régions avec une symétrie d'ordre 5,
  • quand le pavage tend vers l'infini le rapport des nombres de pavés des deux types tend vers φ !
  • un pavage de losanges révèle un motif de deux types de décagones qui se chevauchent ; le rapport de leurs populations est φ !

un anneau d'or (Alexander Bogomolny)

Avec une bande assez longue on peut réaliser cinq noeuds d'or régulièrement espacés. En recollant les extrémités on obtient ce bel anneau pentagonal qui est un ruban de Möbius : la bande n'a plus qu'une seule face et un seul bord ! noeuds d'or

une pyramide d'or

Le pentagramme est le patron d'une pyramide remarquable dont les faces latérales sont des triangles d'or. Si le rayon de sa base est 1, alors sa hauteur est φ.

Si on assemble douze de ces pyramides sur les faces du dodécaèdre régulier, on obtient le petit dodécaèdre étoilé.

animation

l'or de Sydney...  (des médailles et des mathématiques)

Lors de la cérémonie de clôture des Jeux Olympiques 2000 de Sydney un dodécaèdre régulier a trôné au milieu du stade olympique ; l'idée de l'aplatir pour en faire une scène formée de deux demi-patrons était tout à fait originale et constituait un beau symbole : chaque face de ce polyèdre est un pentagone régulier dont le rapport de la diagonale au côté est égal au nombre d'or !

Sydney

animation

références : •  Fibonacci Numbers and the Golden Section  (site)      
•  Le logo d'Alexander Bogomolny
•  Le nombre d'or  par Thérèse Eveilleau
•  Le nombre d'or  : dossier par Robert Chalavoux
•  Le tournesol  (dossier TPE)
•  ->  tout ce qui brille n'est pas d'or ! : la fin d'un mythe avec Géogébra... (en anglais)
•  Penrose tilings  par Eric Hwang   -   Penrose tilings of the plane  par Ianiv Schweber (en anglais)
•  Penrose tiling applet ( télécharger penrose.jar puis l'ouvrir avec Java)
•  un générateur de pavages de Penrose par J.-L. Sigrist
Comme on l'a constaté, φ survient non seulement dans la réalité mathématique, parfois de façon inattendue, mais apparaît aussi dans la nature. L'esthétique de ce rapport a été montré sans ambiguïté ; c'est donc un bel exemple de "beauté mathématique".
Une bonne lecture : Le nombre d'or  Radiographie d'un mythe  par Marguerite Neveux, suivi de La divine proportion  par Herbert E. Huntley
(Éditions du Seuil - Collection Points Sciences - 2014)


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anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes août 1999
mis à jour 07-09-2012