les quatre polyèdres réguliers non convexes de Kepler et Poinsot

En assemblant douze pentagones étoilés selon trente arêtes, Kepler obtient deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes : le petit dodécaèdre étoilé (hérisson de Kepler) et le grand dodécaèdre étoilé.
Les soixante parties visibles de leurs faces sont des triangles d'or (isocèles, d'angle au sommet 36°).

Sur chacun des quatre polyèdres deux faces opposées ont été mises en évidence (couleur foncée)..

En remarquant que les sommets d'un icosaèdre régulier sont aussi les sommets de douze pentagones réguliers convexes ou de vingt triangles équilatéraux, Poinsot découvrit encore deux polyèdres réguliers non convexes : le grand dodécaèdre (étoile de Poinsot) et le grand icosaèdre.
Ces duals des deux dodécaèdres étoilés complètent la liste des polyèdres réguliers (Cauchy a prouvé qu'il n'y a pas d'autres polyèdres réguliers étoilés finis).


L'enveloppe convexe du petit dodécaèdre étoilé est un icosaèdre régulier ; son noyau convexe est un dodécaèdre régulier. C'est le contraire pour le grand dodécaèdre étoilé.
Les deux polyèdres de Kepler s'obtiennent donc en assemblant une pyramide régulière (à base pentagonale ou triangulaire) sur chaque face d'un dodécaèdre ou d'un icosaèdre.

Pour réaliser vos propres modèles vous trouverez des patrons sur le site de Xavier Hubaut.

On a dénombré 53 polyèdres semi-réguliers non convexes (l'équivalent des polyèdres archimédiens pour les convexes).



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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes février 1999
mis à jour 21-08-2005