le kaléïdoèdre de la grille IsoAxis

Kaléïdoèdre ? Vient du grec : "kalos" (beau) + "eidos" (aspect) + "hedra" (faces).
IsoAxis, créée et brevetée par le dessinateur Wallace Walker, est une grille rectangulaire de 36+24=60 triangles rectangles isocèles répartis en 6 paires de bandes identiques. En la pliant face contre face selon les 11 bords des bandes, et dos contre dos selon les 2x(5+2)=14 lignes qui forment une grille carrée, elle se met presque naturellement "en forme" ; il suffit alors d'assembler les deux "bouts" pour obtenir un curieux objet annulaire qui peut prendre l'aspect d'un polyèdre non convexe à 36 faces (les 24 triangles manquants sont repliés à l'intérieur). Il est très étonnant de découvrir que cet "anneau" peut tourner sur lui-même en changeant d'apparence, comme une fleur qui éclôt.
remarque : en étudiant le mouvement de cet objet, J.A. Gutierrez a montré que ce n'est possible qu'avec un matériau légèrement flexible (étude en espagnol, traduite en français).
 
IsoAxis

D'autres positions remarquables et une animation de cet étonnant objet
sont présentées sur deux autres pages.

Si, après l'avoir allongée d'un nombre pair de bandes, on déforme la grille en rapprochant les bandes extrêmes, on obtient d'autres objets aussi étonnants dont la manipulation devient délicate. Les possibilités sont infinies.

IsoAxis or Cette grille de 18 bandes de triangles d'or (36°-108°-36°) conduit à un objet dont quatre vues sont présentées sur une autre page.

Pour découvrir cette petite merveille, il vous faudra reproduire la grille et procéder au pliage et à l'assemblage en réunissant les bandes extrêmes (comme on le ferait pour créer un prisme droit régulier). La beauté se mérite ! IsoAxis vous récompensera largement de vos efforts. De plus, rien n'interdit de colorier ou de décorer les triangles pour augmenter le plaisir visuel.

les kaléïdocycles

kaléïdocycle : "kalos"=beau + "eidos"=aspect + "kuklos"=cercle
Si l'on étire IsoAxis pour que les 36 grands triangles aient tous leurs angles aigus, l'objet que l'on obtient par pliage de la grille et assemblage de ses bords opposés est un anneau de 12 tétraèdres !  Ce kaléïdocycle peut encore tourner sur lui-même.
Ci-dessous on a étiré la grille pour obtenir 36 triangles équilatéraux. Une modification supplémentaire permet de faire apparaître 48 triangles identiques, en 12 bandes de quatre (ce patron conduit au même kaléïdocycle régulier) : chaque bande est alors le patron d'un tétraèdre régulier, et les bords (lignes verticales) deviennent les arêtes de liaison (opposées et orthogonales) avec les deux tétraèdres voisins.
Pour modifier le diamètre de l'anneau il suffit d'ajouter ou de supprimer des paires de bandes (au moins 8 tétraèdres réguliers).

Tous les patrons présentés sont destinés à être reproduits par constructions géométriques (règle et compas ou logiciel de dessin) ; ils sont accompagnés d'indications suffisantes pour ce faire. Je n'utilise pas de languettes de collage ; par expérience je préfère le ruban adhésif qui permet des assemblages plus précis et conduit à des objets plus robustes.

IsoAxis equi_1 IsoAxis equi_2

La chaîne de tétraèdres se referme sans problème si leur nombre est pair ; en effet les tétraèdres sont équifaciaux avec deux arêtes opposées orthogonales qui servent de liaisons entre eux. On peut donc créer une infinie variété de kaléïdocycles.
On a prouvé que le nombre de tétraèdres (non réguliers) peut être réduit à 6, et que "l'oeil" de l'anneau peut être réduit à un point quand les arêtes de liaison sont coplanaires.
Il existe aussi des kaléïdocycles où toutes les faces des tétraèdres sont des triangles rectangles ; le "cube de Schatz" est une telle configuration remarquable d'ordre 6.

Soyez patients pendant l'initialisation ! (rechargez la page si une animation ne démarre pas)

kaléïdocycle régulier d'ordre 12
(tétraèdres réguliers)

kaléïdocycle fermé d'ordre 12
(tétraèdres non réguliers)

kaléïdocycle rectangle d'ordre 12
(faces rectangles)

Si on utilise une grille oblique de triangles comme patron, on peut obtenir un kaléïdocycle torsadé ; la chaîne de tétraèdres se referme alors comme un ruban de Möbius. La description mathématique de ces objets était un beau défi relevé par Marcus Engel ; son animation paramétrée englobe différents types de kaléïdocycles, y compris les torsadés (dont le nombre de tétraèdres peut être impair).

références : • le remarquable SITE DE MARCUS ENGEL http://www.kaleidocycles.de/intro.shtml n'est plus accessible ; voici des copies de son travail sur la théorie des kaléïdocycles avec l'applet qui permet de visualiser tous les types de kaléïdocycles, et quelques patrons
• M.C.Escher kaléïdocycles  par Doris Schattschneider et Wallace Walker (Taco - 1988), en anglais
   avec 17 patrons de polyèdres et de kaléïdocycles décorés par des "motifs périodiques" de M.C.Escher
• Metamorphs  par Robert Byrnes, en anglais (Tarquin Publications - 2004),
   avec 14 patrons d'objets que l'on peut tourner sur eux-mêmes (dont 7 kaléïdocycles)
• Les kaléïdocycles irréguliers fermés  par Carole Le Beller
• à voir : les jolis kaléïdocycles de Nicolas Hannachi (Math à mâter ).
• une étude élémentaire du kaléïdocycle fermé d'ordre 6 par Xavier Hubaut
• Les kaléïdocycles irréguliers fermés  par Carole Le Beller
• A Group Theoretic Approach to Kaleidocycles and Cubeocycles  par Lisa Marie Bush (en anglais)


d'autres kaléïdocycles : kaléïdo 1 - kaléïdo 2 - AniKA (Marcus Engel)


page accueil
anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes février 2000
mis à jour 13-03-2009