exemples de polyèdres qui pavent l'espace |
Les paralléloèdres de Fedorov pavent l'espace en n'utilisant que des translations. Leurs faces sont deux à deux opposées et parallèles et chaque arête appartient à un ensemble d'arêtes parallèles (quatre ou six arêtes). Il n'y en a que cinq, à transformations affines près : le cube (donc aussi tous les parallélépipèdes), l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique, le dodécaèdre rhombique allongé et le prisme hexagonal (non nécessairement régulier ou droit).
Si un des polyèdres ci-dessus peut être décomposé en polyèdres identiques, de manière évidente ces polyèdres pavent aussi l'espace : par exemple le cube peut être décomposé en trois ou six pyramides carrées, en quatre bipyramides, en trois paires de tétraèdres symétriques ...
un prisme hexagonal régulier droit peut être décomposé en six prismes réguliers triangulaires, en douze prismes triangulaires rectangles ...
On peut aussi paver l'espace en utilisant deux polyèdres distincts, par exemple l'octaèdre et le tétraèdre réguliers (voir ci-dessous), le dodécaèdre et un curieux polyèdre non convexe.
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| L'assemblage symétrique de deux tétraèdres sur un octaèdre produit un rhomboèdre identique à celui que l'on obtient en assemblant deux sabots par leurs faces carrées ; ce parallélépipède pave évidemment l'espace. | |||||||||
| On obtient donc des pavages de l'espace très proches en utilisant soit des rhomboèdres, soit des "sabots", soit des octaèdres et tétraèdres réguliers. | |||||||||
| Ce premier hendécaèdre (11 faces) a deux plans de symétrie.
Quatre de ces polyèdres forment un bloc qui pave l'espace selon un réseau de type cubique. | |
| Ce second hendécaèdre n'a qu'un plan de symétrie.
Six de ces polyèdres s'assemblent en une "rosace". Deux "rosaces" de sens contraires superposées forment un bloc qui pave aussi l'espace selon un réseau hexagonal. | |
| Ces deux curieux polyèdres ont la même topologie et leur commune forme canonique est autoduale (avec deux plans de symétrie). |
Il est bien connu que le dodécaèdre rhombique étoilé pave l'espace, mais il n'est pas évident que le dodécaèdre rhombique non convexe ci-dessus en fasse autant. Son "centre" appartient à six faces deux à deux opposées et coplanaires, ce qui permet de dire que ses treize sommets ne définissent que neuf faces, trois d'entre elles étant formées de deux losanges avec un sommet commun.
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Ce polyèdre à 10 sommets et 16 faces peut être obtenu à partir d'un octaèdre auquel on a enlevé deux tétraèdres le long de chacune des quatre arêtes équatoriales.
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Comme Eduard l'explique on peut réaliser cet étrange polyèdre à partir de l'octaèdre régulier : on enlève un tétraèdre le long de chaque arête, puis on déforme les faces (on rapproche les sommets des centres de quatre faces et on écarte de même les quatre autres) ; on obtient ainsi 14 sommets et 24 faces formant quatre "hexagones non plans".
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À l'aide d'ordinateurs Bjorn Poonen et Michael Rubinstein trouvent 59 tétraèdres rationnels isolés plus deux familles infinies dans les années 1990 ; ce n'est qu'en 2020 qu'ils prouvent, avec Kiran S. Kedlaya et Alexander Kolpakov, que ce sont les seuls. Leur classification a nécessité des méthodes sophistiquées et de puissants ordinateurs pour trouver des solutions spéciales d'équations compliquées.
Début 2021, un groupe d'étudiants de premier cycle du MIT, en collaboration avec Poonen, a prouvé que l'un des tétraèdres rationnels isolés ne pavait pas l'espace. C'est le premier exemple d'un tétraèdre qui est ciseaux-congruent au cube mais ne pave pas l'espace.
| références : | des polyèdres qui pavent l'espace par Guy Inchbald et Eduard Bobik (en anglais)
Tetrahedron Solutions Finally Proved Decades After Computer Search Quantamagazine, 02/02/2021 (en anglais) Tetrahedron Undergraduates Hunt for Special Tetrahedra That Fit Together Quantamagazine, 09/02/2021 (en anglais) |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | octobre 2017 mis à jour 01-03-2021 |