exemples de polyèdres qui pavent l'espace

Un polyèdre "pave l'espace" s'il permet de réaliser un assemblage qui remplit tout l'espace (sans vides).
Un seul polyèdre régulier permet de réaliser un tel assemblage : le cube, et parmi les polyèdres semi-réguliers il y en a quatre : le prisme triangulaire, le prisme hexagonal, le polyèdre de lord Kelvin (octaèdre tronqué) et le dodécaèdre rhombique (dual du cuboctaèdre).

Les paralléloèdres de Fedorov pavent l'espace en n'utilisant que des translations. Leurs faces sont deux à deux opposées et parallèles et chaque arête appartient à un ensemble d'arêtes parallèles (quatre ou six arêtes). Il n'y en a que cinq, à transformations affines près : le cube (donc aussi tous les parallélépipèdes), l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique, le dodécaèdre rhombique allongé et le prisme hexagonal (non nécessairement régulier ou droit).

Si un des polyèdres ci-dessus peut être décomposé en polyèdres identiques, de manière évidente ces polyèdres pavent aussi l'espace : par exemple le cube peut être décomposé en trois ou six pyramides carrées, en quatre bipyramides, en trois paires de tétraèdres symétriques ...
un prisme hexagonal régulier droit peut être décomposé en six prismes réguliers triangulaires, en douze prismes triangulaires rectangles ...
On peut aussi paver l'espace en utilisant deux polyèdres distincts, par exemple l'octaèdre et le tétraèdre réguliers (voir ci-dessous), le dodécaèdre et un curieux polyèdre non convexe.

trois visions d'un pavage de l'espace

tétraèdre et octaèdre réguliers

demi-octaèdre et tétraèdre assemblés ("sabot")
L'assemblage symétrique de deux tétraèdres sur un octaèdre produit un rhomboèdre identique à celui que l'on obtient en assemblant deux sabots par leurs faces carrées ; ce parallélépipède pave évidemment l'espace.

On obtient donc des pavages de l'espace très proches en utilisant soit des rhomboèdres, soit des "sabots", soit des octaèdres et tétraèdres réguliers.

deux polyèdres convexes qui pavent l'espace (Guy Inchbald)

Ce premier hendécaèdre (11 faces) a deux plans de symétrie.
Quatre de ces polyèdres forment un bloc qui pave l'espace selon un réseau de type cubique.

Ce second hendécaèdre n'a qu'un plan de symétrie.
Six de ces polyèdres s'assemblent en une "rosace".
Deux "rosaces" de sens contraires superposées forment un bloc qui pave aussi l'espace selon un réseau hexagonal.

Ces deux curieux polyèdres ont la même topologie et leur commune forme canonique est autoduale (avec deux plans de symétrie).

trois polyèdres non convexes qui pavent l'espace (Eduard Bobik)

Il est bien connu que le dodécaèdre rhombique étoilé pave l'espace, mais il n'est pas évident que le dodécaèdre rhombique non convexe ci-dessus en fasse autant. Son "centre" appartient à six faces deux à deux opposées et coplanaires, ce qui permet de dire que ses treize sommets ne définissent que neuf faces, trois d'entre elles étant formées de deux losanges avec un sommet commun.
Son groupe de symétries est D3v .
Douze autres exemplaires s'ajustent autour de lui (contacts selon une face).

Ce polyèdre à 10 sommets et 16 faces peut être obtenu à partir d'un octaèdre auquel on a enlevé deux tétraèdres le long de chacune des quatre arêtes équatoriales.
Son groupe de symétries est D4h .
Quatre autres exemplaires s'ajustent autour de lui (contacts selon quatre faces).

Comme Eduard l'explique on peut réaliser cet étrange polyèdre à partir de l'octaèdre régulier : on enlève un tétraèdre le long de chaque arête, puis on déforme les faces (on rapproche les sommets des centres de quatre faces et on écarte de même les quatre autres) ; on obtient ainsi 14 sommets et 24 faces formant quatre "hexagones non plans".
Ce polyèdre a une symétrie tétraédrique complète Td .
Quatre autres exemplaires s'ajustent autour de lui (contacts selon six faces).
Remarque : le dodécaèdre rhombique étoilé (solide d'Escher) possède huit de ces "faces hexagonales non planes" et est donc en contact avec huit autres exemplaires.


le dodécahémioctaèdre rhombique

Décrit par Guy Inchbald, ce polyèdre peut être obtenu de deux manières par excavation sur le cube ou sur le dodécaèdre rhombique.

les tétraèdres qui pavent l'espace (une quête de plus de deux millénaires, de 350 av.JC à 2020)

La question remonte à Aristote : le tétraèdre régulier peut-il paver l'espace ? Au XVe siècle on suspecta que la réponse était négative, et la preuve fut apportée deux siècles plus tard. Mais si le tétraèdre régulier ne pave pas l'espace, d'autres tétraèdres le peuvent-ils ? Ducan Sommerville en exhiba les premiers exemples en 1923.
La recherche d'autres exemples fut facilitée par deux autres découvertes :
•  En 1900 Max Dehn définit un nombre qui permet de savoir si deux polyèdres de même volume peuvent être "ciseaux-congruents" (on peut découper l'un en un nombre fini de polyèdres et reconstituer l'autre avec les mêmes pièces) ; le cube et le tétraèdre régulier ne le sont pas : ils n'ont pas le même invariant de Dehn. En 1965 Jean-Pierre Sydkler prouva que la condition est aussi suffisante. En outre Hans Debrunner montra en 1980 qu'un tétraèdre pavant l'espace doit avoir, comme le cube, un invariant de Dehn égal à 0.
•  En 1976 John H. Conway et Antonia J. Jones cherchent à identifier les "tétraèdres rationnels" dont les mesures en degrés des six angles diédraux sont des nombres rationnels. Tout tétraèdre avec des angles diédraux rationnels a un invariant de Dehn nul, donc est ciseaux-congruent au cube et devient un candidat pour paver l'espace. Malheureusement ils ne disposent ni des outils mathématiques ni d'ordinateurs assez puissants pour mener leur recherche à son terme (résolution d'une équation polynômiale compliquée).

À l'aide d'ordinateurs Bjorn Poonen et Michael Rubinstein trouvent 59 tétraèdres rationnels isolés plus deux familles infinies dans les années 1990 ; ce n'est qu'en 2020 qu'ils prouvent, avec Kiran S. Kedlaya et Alexander Kolpakov, que ce sont les seuls. Leur classification a nécessité des méthodes sophistiquées et de puissants ordinateurs pour trouver des solutions spéciales d'équations compliquées.

59 tétraèdres

Début 2021, un groupe d'étudiants de premier cycle du MIT, en collaboration avec Poonen, a prouvé que l'un des tétraèdres rationnels isolés ne pavait pas l'espace. C'est le premier exemple d'un tétraèdre qui est ciseaux-congruent au cube mais ne pave pas l'espace.


références : des polyèdres qui pavent l'espace par Guy Inchbald et Eduard Bobik (en anglais)
Tetrahedron Solutions Finally Proved Decades After Computer Search  Quantamagazine, 02/02/2021 (en anglais)
Tetrahedron Undergraduates Hunt for Special Tetrahedra That Fit Together  Quantamagazine, 09/02/2021 (en anglais)
"La quête du pavé apériodique unique"  par Jean-Paul Delahaye  (Pour la Science n° 433, novembre 2013)


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes octobre 2017
mis à jour 01-03-2021