mis à jour 03-02-2004
Tout polyèdre convexe a une unique "forme canonique" qui est généralement une version déformée du polyèdre, avec toutes ses arêtes tangentes à la sphère unité et l'origine au centre de gravité des points de contact.
Les faces d'un polyèdre canonique ne sont pas nécessairement régulières. La forme canonique d'un polyèdre a une symétrie maximum, donc les plans et axes de symétrie originaux sont préservés sur la forme canonique. Si on conjugue un polyèdre canonique par rapport à sa sphère médiane (la sphère unité), le polyèdre dual partage les mêmes points de tangence d'arête : c'est le dual canonique. Deux polyèdres canoniques duals ont leurs arêtes perpendiculaires au point de contact avec la sphère unité.
Les polyèdres réguliers et semi-réguliers sont canoniques. Pour un polyèdre "très irrégulier" il est intéressant, et parfois surprenant, d'observer sa forme canonique.
John Conway a popularisé ce joli théorème qui malheureusement ne donne pas de méthode pour trouver la forme canonique. Heureusement George W. Hart a écrit un algorithme pour le faire ; son code Mathematica est disponible sur son site (voir référence) et a été utilisé dans les exemples suivants.
Ces deux pentaèdres (demi tétraèdre et demi cube) ont la même forme canonique (prisme régulier triangulaire).
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Ces deux heptaèdres dérivent du cube ; il n'y a pas d'angles droits sur leur forme canonique.
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Les formes canoniques des "hermaphrodites" (composés d'un demi prisme et d'un demi diamant) et des "antihermaphrodites" (composés d'un demi antiprisme et d'un demi antidiamant) sont leurs propres duals. Voici les modèles pentagonaux (11 faces et 11 sommets).
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L'énéaèdre à gauche est le polyèdre le plus simple avec un nombre impair de n-faces (n=4, donc ses 9 faces sont des quadrilatères).
Son dual (à droite) a donc 9 sommets d'ordre 4 et 11 faces (3 quadrilatères et 8 triangles).
Il est surprenant de découvrir un axe de symétrie d'ordre 3 sur les formes canoniques.
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| référence : | Canonical Polyhedra par George W. Hart (en anglais) |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | janvier 2004 mis à jour 03-02-2004 |