| Commençons par le classique dé cubique, dont il existe différentes variantes !
Les six faces sont marquées de 1 à 6 points, de façon à ce que les sommes des faces opposées soient égales à 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4. Seules les faces 1, 4 et 5 conservent alors leur symétrie d'ordre 4 ; on peut donc obtenir différentes variétés de ce type de dé en changeant les orientations des marquages sur les trois autres faces, en échangeant les faces 1 et 6 ... Il existe aussi des dés cubiques avec des symboles de cartes (neuf, dix, Valet, Dame, Roi et As). |
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Mais tous les dés ne sont pas cubiques ! Un "bon dé" doit avoir la même probabilité de s'immobiliser sur chacune de ses faces. Pour qu'un solide soit un "bon dé" il faut donc :
• qu'il soit convexe et formé d'un matériau homogène,
• qu'il ait des faces identiques qui jouent le même rôle dans le polyèdre, et donc aient la même relation à son centre de gravité
(les mathématiciens disent que le groupe des symétries opère transitivement dans l'ensemble des faces, donc il n'y a qu'une seule orbite : pour chaque paire de faces il existe une symétrie du groupe qui transforme l'une en l'autre).
Remarquons d'abord qu'un dé polyédrique a au moins quatre faces. Mais avec des faces non planes on peut réaliser des dés Dn avec un nombre quelconque n de faces :
| D1 : | une sphère (on ne voit pas à quoi un tel dé pourrait servir !), |
| D2 : | une lentille, ou un jeton (de forme circulaire ou régulièrement polygonale), |
| D3 : | en forme de fuseau que l'on obtient en déformant un prisme régulier triangulaire de façon à réduire chacune des deux bases à un point, |
| Dn : | (n > 3) prismes réguliers d'ordre n effilés aux deux bouts ; c'est la seule façon de réaliser de "bons dés" avec des nombres impairs de faces. |
A l'aide de la formule d'Euler, Klaus Æ. Mogensen (voir référence) a montré qu'il existe 29 types de dés (y compris les trois ci-dessus). Les faces des 26 types de dés polyédriques sont des triangles, des quadrilatères ou des pentagones. Certains sont topologiquement équivalents : par exemple on peut étirer un cube pour former un rhomboèdre que l'on peut ensuite torsader ; il existe des tétraèdres et des dodécaèdres équifaciaux non réguliers ...
Le nombre de types polyédriques de base se réduit à 18. On pense immédiatement aux polyèdres réguliers, et les polyèdres semi-réguliers de seconde espèce complètent la liste. Finalement on a :
• le tétraèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre réguliers,
• les 13 polyèdres de Catalan,
• les diamants réguliers (dont l'octaèdre régulier) et les anti-diamants réguliers (dont le cube).
Ils ont tous un nombre pair de faces tangentes à une sphère inscrite.
Si l'on exige des faces opposées (une sur laquelle le dé s'arrête, et une où apparaît le résultat du lancer) la liste se réduit : il faut en particulier éliminer le tétraèdre régulier, les diamants d'ordre impair et les anti-diamants d'ordre pair.
En ce qui concerne les nombres possibles de faces, on a donc :
D4, D6, D8, D12 et D20 (polyèdres réguliers),
D12, deux D24 et deux D60 (faces triangulaires, polyèdres réguliers avec des pyramides régulières sur leurs faces),
D12 et D30 (faces losanges),
deux D24 et deux D60 (faces pentagonales et en cerfs-volants),
D48 et D120 (faces triangulaires, D12 et D30 avec des pyramides sur leurs faces),
et deux suites infinies D2n (faces triangulaires pour les diamants et en cerfs-volants pour les anti-diamants).
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On imagine difficilement des dés polyédriques à faces non identiques, et pourtant...
Voici deux façons de réaliser théoriquement des dés avec des nombres quelconques de faces. Soient b et f les probabilités qu'un dé s'arrête sur une base ou une face latérale ; alors, pour une pyramide ou un prisme réguliers d'ordre n, on a respectivement
b + nf = 1 (n+1 faces) et 2b + nf = 1 (n+2 faces).
En général b et f sont différents ; plus précisément, si h désigne la hauteur et r le rayon de la base,
h << r entraîne f < b et r << h entraîne b < f.
Par continuité il doit donc exister pour h et r des valeurs telles que b=f ! Alors chaque face d'un tel polyèdre a la même probabilité de "sortir" lors d'un lancer. On peut ainsi trouver un D7 qui est un prisme pentagonal adéquat.
Ce raisonnement peut s'appliquer à d'autres transformations continues comme les troncatures par les sommets du cube et du dodécaèdre ; elles font apparaître respectivement 8 et 20 hexagones (non réguliers), ce qui conduit à un D14 et un D32 (semblable au "ballon de football").
Mais ces polyèdres non équifaciaux sont-ils vraiment de "bons dés" ?
| références : |
• dice et isohedron de Eric W. Weisstein (MathWorld, en anglais)
• dice de George W. Hart • fair dice (MathPuzzle, en anglais) • dice collector - des tas de différentes formes de dés (en anglais) |
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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes | mai 2004 mis à jour 27-08-2005 |