dodécaèdre tronqué et icosaèdre étoilé tétraédriquement

S'il semble naturel qu'une troncature du dodécaèdre régulier conduise à un polyèdre convexe, cela est plus surprenant pour une stellation de l'icosaèdre régulier ! Ces polyèdres à symétrie tétraédrale ont été décrits par George W. Hart (voir référence).

Pour le dodécaèdre on tronque complètement (par les trois sommets adjacents) quatre sommets appartenant à un tétraèdre inscrit ; 4 faces triangulaires apparaissent et les 12 pentagones sont transformés en trapèzes isocèles.

face 1

Pour l'icosaèdre on limite la première stellation (augmentation par une pyramide triangulaire) à quatre faces appartenant à un tétraèdre circonscrit ; 4 faces triangulaires disparaissent et 12 autres sont transformées en cerfs-volants.

face 2
Dans les deux cas on obtient un polyèdre convexe à 16 faces (4 triangles et 12 quadrilatères), 16 sommets et 30 arêtes qui a les mêmes sept axes de symétrie que le tétraèdre mais pas de plans de symétrie.

On est parti de deux polyèdres duals sur lesquels on a effectué des manipulations duales ; il n'est donc pas étonnant d'obtenir deux polyèdres topologiquement identiques qui ont la même forme canonique (un hexadécaèdre géométriquement autodual).

Si on tronque huit sommets d'un dodécaèdre appartenant à un cube, on obtient un icosaèdre d'or (8 faces sont des triangles équilatéraux, les 12 autres sont des triangles d'or) qui a une symétrie tétraédrique (seulement trois plans de symétrie).

Si on effectue la première stellation de l'icosaèdre sur quatre paires de faces opposées, 8 faces disparaissent et il reste un dodécaèdre équifacial (les faces sont des pentagones symétriques) ; il est donc topologiquement identique au dodécaèdre régulier, mais avec une symétrie tétraédrique (seulement trois plans de symétrie).

Le tétartoïde des minéralogistes est un autre dodécaèdre équifacial (les faces sont des pentagones irréguliers) topologiquement identique au dodécaèdre régulier avec une symétrie tétraédrique (pas de plans de symétrie).

référence : http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/tetrahedrally_stellated_icosahedron.html par George W. Hart (en anglais)


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes février 2004
mis à jour 03-22-2013