dualité

La conjugaison par rapport à une sphère S transforme un point M en son plan polaire (lieu des points N tels que [MN] soit diamètre d'une sphère orthogonale à S). Réciproquement, un plan est transformé en un point, son pôle. Si M appartient à S, alors son plan polaire est le plan tangent à S en M. La conjugaison transforme donc un polyèdre en un autre polyèdre, son dual.

Plus précisément si S est la sphère de rayon r centrée à l'origine O et D une droite passant par M et coupant S en A et B , alors le lieu de N, conjugué harmonique de M par rapport à A et B (i.e. |AM|/|AN|=|BM|/|BN|) est un plan P (plan polaire de M).
Au point M(a,b,c) correspond le plan d'équation ax+by+cz=r² et au plan d'équation ux+vy+wz=t correspond le point N(ur²/t,vr²/t,wr²/t). La droite (OM) est orthogonale au plan polaire P de M, et les distances de O au point M et au plan P sont "inverses" (relativement à r) : d(O,M)/r=r/d(O,P).
Dans un plan Π passant par O et M la conjugaison se réduit à "l'inversion polaire" de centre O dont le cercle d'inversion est l'intersection de la sphère S avec Π ; la polaire de M est la droite d'intersection de son plan polaire avec Π.
A défaut de mieux, on peut utiliser la sphère centrée à l'isobarycentre des sommets et de rayon la moyenne de leurs distances au centre.
La dualité ne concerne pas que les polyèdres convexes, mais attention ! le pôle d'un plan passant par le centre de la sphère est à l'infini.

Cette figure peut être modifiée dynamiquement (voir aide LiveGraphics3D) : les deux gros points (bleu et vert) peuvent être déplacés avec le pointeur de la souris ; il est intéressant de les mouvoir en leur faisant traverser la sphère de conjugaison pour observer le comportement du plan polaire.

Un plan polaire et son pôle sont représentés dans la même couleur (bleu et vert).
Les deux plans polaires se coupent selon une droite (en rouge), orthogonale au segment (en rouge) joignant les deux points.
Et si le segment est tangent à la sphère, alors il est perpendiculaire à l'intersection des plans au point de contact.

Si ces deux point sont deux sommets d'un polyèdre, reliés par une arête, alors les faces correspondantes du dual sont dans les plans polaires, et leur arête commune appartient à la droite d'intersection des deux plans.

La dualité échange le nombre de faces et de sommets et conserve le nombre d'arêtes ; à une face correspond un sommet de même ordre, et réciproquement.  A une face régulière (côtés égaux et angles égaux) correspond un sommet régulier (angles dièdres égaux et angles d'arêtes égaux) de même ordre. A deux faces adjacentes correspondent deux sommets reliés par une arête, et deux arêtes correspondantes sont orthogonales.
La dualité conserve la convexité et les symétries (axes, plans et un éventuel centre).

Voici quatre exemples de paires de polyèdres duals : deux hexaèdres (7 et 6 sommets) et deux pyramides (quadrangulaire et pentagonale).
L'un des polyèdres est montré avec ses faces (bleu clair) et l'autre seulement avec ses arêtes (bleu foncé). Les deux arêtes en orange se correspondent ; elles sont orthogonales. Le centre de la sphère de conjugaison est l'isobarycentre des sommets ; c'est le point orange que l'on peut visualiser en effaçant les faces avec "f".

Pour qu'un polyèdre soit son propre dual il faut donc qu'il ait le même nombre de faces et de sommets de chaque ordre.
Un exemple typique est une n-pyramide : la base est un n-gone et les n autres faces sont triangulaires, son sommet principal est d'ordre n et les n sommets de la base sont d'ordre trois. Cette condition nécessaire n'est pas suffisante ; pour qu'une pyramide soit géométriquement autoduale il faut qu'elle soit régulière et que son sommet principal soit à une distance convenable de la base (en fait elle doit être canonique).

Et voici les formes canoniques autoduales des trois derniers exemples ci-dessus (chacun a un axe de symétrie, respectivement d'ordre 2, 4 et 5).

Pour conjuguer un polyèdre régulier ou semi-régulier, le plus intéressant est d'utiliser sa sphère circonscrite ; son dual admet alors une sphère inscrite. Remarquons que si on peut utiliser la sphère tangentes aux arêtes du polyèdre initial, alors les arêtes du polyèdre dual sont perpendiculaires aux arêtes du polyèdre initial (points d'intersection sur la sphère).
Les polyèdres archimédiens, les prismes et antiprismes ont des faces régulières (de deux ou trois ordres) et des sommets superposables (mais pas réguliers) ; leurs duals, les polyèdres de Catalan, les diamants et antidiamants ont des faces superposables (mais pas régulières) et des sommets réguliers (de deux ou trois ordres).
Les duals des polyèdres réguliers sont réguliers : cube et octaèdre sont duals, dodécaèdre et icosaèdre aussi, le tétraèdre est autodual.
Remarque : le cube est un 4-prisme et un 3-antidiamant ; son dual, l'octaèdre, est un 4-diamant et un 3-antiprisme.

En ajustant les tailles (ou en utilisant la sphère tangente aux arêtes) on vérifie que les arêtes de deux duals sont orthogonales ; on obtient ainsi de jolis polyèdres composés.

En enlevant les petites pyramides (ou en coupant les "pointes") de ces trois polyèdres on obtient les intersections des deux polyèdres réguliers qui les constituent, soit respectivement un cuboctaèdre, un octaèdre régulier et un icosidodécaèdre. Les trois images montrent donc des stellations. Leurs enveloppes convexes (polyèdres de sommets les sommets des pyramides) sont respectivement un dodécaèdre rhombique, un cube et un triacontaèdre rhombique, duals des intersections.



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anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes mai 1999
mis à jour 09-01-2004