dessins des T-shirts "AMC - Nouméa"

Cette année nous réutilisons le dessin de 2000 :
une superposition d'un échiquier et de son inverse.

Une occasion de revoir l'inversion, une passionnante transformation géométrique malheureusement un peu tombée dans l'oubli.

Remarque : le grand cercle extérieur du dessin précédent a été remplacé par un carré ; dans les deux cas ils ne servent qu'à limiter la taille du dessin, les quatre régions extérieures, images des quatre carrés centraux, étant infinies.

dessin de Maurice Starck

dessin de Maurice Starck d'après une idée de Bruce Henry (Melbourne)

Remarque : parmi les 35 hexaminos on trouve les 11 patrons du cube.
Exercices : (mêmes questions en ajoutant les 108 heptaminos, soit 164 pièces)
  • trouvez un autre arrangement pour écrire AMC
  • utilisez ces 56 pièces pour écrire vos initiales !
  • parmi ces polygones, lesquels pavent le plan ?
  • classez ces polygones en selon les périmètres

Un puzzle pour écrire AMC dont les 1+1+2+5+12+35=56 pièces sont tous les polyminos (assemblages de carrés) d'ordres 1 à 6.
Remarque : Parmi les 108 heptaminos on en trouve un avec un trou (que l'on peut remplir avec le petit carré).
Le coloriage du dessin illustre le fameux "théorème des quatre couleurs" :
Il faut au plus quatre couleurs pour colorier une carte plane, aussi compliquée soit-elle, de manière à ne pas avoir la même couleur des deux côtés d'une frontière.
Ce théorème démontré en 1976 par Appel et Haken est célèbre dans l'histoire des mathématiques ; pour la première fois un ordinateur a été utilisé au cours d'une preuve (exploration systématique des cas particuliers).

http://www.jlsigrist.com/polyminos.html

Questions ouvertes :  Combien y a-t-il de façons différentes (à symétrie ou rotation près) de réaliser ce dessin ?  Combien y a-t-il de "bons coloriages" (conformes au théorème des quatre couleurs) différents ?

dessin de Nicolas Hannachi et Maurice Starck réalisé avec Mathematica

Une infinité de cercles quatre à quatre mutuellement tangents
    que Soddy a joliment baptisé "kissing circles".

  Les nombres indiqués sur les disques sont les courbures (inverses des rayons) ; la formule de Descartes (en dessous) donne la relation entre les courbures de quatre cercles tangents deux à deux. Cette configuration est remarquable car toutes les courbures sont entières.
  Trois cercles étant donnés il existe deux cercles qui leur sont tangents (cercles de Soddy) ; avec (11,14,15) la formule de Descartes donne 86 et -6. La courbure 6 du grand cercle extérieur est négative car les trois autres lui sont tangents intérieurement.

voir la page "Kissing Circles"  sur le site math à mâter  de Nicolas Hannachi
  avec davantage de détails, un pavage du plan et des "kissing spheres"
cercles tangents - sphères tangentes par Maurice Starck
Soddy circles (Eric Weisstein - MathWorld)
Circle Game (article de Science News, avril 2001)
The Kiss Precise, le poème de Frederick Soddy

dessin de Maurice Starck

Une adaptation du projet de timbre poste consacré au nombre d'or.
Dans un rectangle d'or le rapport des dimensions est égal à f. Avec une suite de rectangles d'or emboîtés (en ajoutant ou en enlevant un carré) on obtient facilement un joli tracé approché de la spirale d'or (celle du nautile).
Les sommets de trois rectangles d'or de même centre, deux à deux orthogonaux, sont les sommets d'un icosaèdre régulier (vingt faces triangulaires), solide que Platon avait associé à l'eau.
Dans un pentagone régulier le rapport diagonale/côté vaut f ; le pentagramme (pentagone avec ses cinq diagonales) fait apparaître de nombreux triangles d'or (isocèles, avec des angles multiples de 36°).
Le pentagone étoilé est le patron d'une pyramide d'or ; en assemblant douze de ces pyramides sur les faces d'un dodécaèdre régulier on obtient le hérisson de Kepler (douze faces pentagonales étoilées).

Ce joli puzzle est formé de dix pièces, les hexaminos (tous les assemblages possibles de trois ou quatre hexagones réguliers).
On peut assembler ces dix hexaminos en un hexagone régulier, en une "étoile hexagonale" , . .
Problème :  de combien de façons différentes (à symétrie ou rotation près) peut-on réaliser ces figures ?

           
dessins de Bruce Henry (Melbourne)

pavage hyperbolique {10,3} illustré à la manière d'Escher.

Cette image a été réalisée et mise à notre disposition par Doug Dunham.

Il est tentant de conjecturer que les lignes blanches sont des "droites" (hyperboliques), mais ce n'est pas le cas ; il s'agit de "courbes équidistantes" aux "droites" passant par les mêmes points du cercle limite.

Retour aux pavages hyperboliques, avec un dessin "à la manière de M.C. Escher", plus coloré que celui utilisé en 1999.

  Références :
    http://www.d.umn.edu/~ddunham/mam/index.html
    http://www.d.umn.edu/~ddunham/mam/essay1.html
    http://vismath.tripod.com/dunham/index.html (théorie)
    http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/ (pavages hyperboliques)

La divine proportion, connue depuis l'Antiquité, a depuis été largement utilisée en peinture et en architecture. 

Le pentagone régulier retient tout naturellement l'attention (le rapport de sa diagonale à son côté est égal au nombre d'or).
Ce dessin, formé de pentagones réguliers emboîtés, fait aussi apparaître de jolies spirales logarithmiques (approchées).
 
 
 

dessin de Maurice Starck réalisé avec Cabri-Géomètre

image "artistique" de l'ensemble de Mandelbrot
(l'intérieur est une autre image fractale qui rappelle nos coraux)

L'ensemble de Julia Jc est formé par les nombres complexes dont la suite des itérés par le polynôme z²+c reste bornée. Les ensembles Jc varient beaucoup en fonction de c.
L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble M des paramètres c pour lesquels le bord de Jc est connexe ("d'un seul morceau") ce qui équivaut à dire que la suite issue de l'origine converge.
Benoît Mandelbrot a été le premier a représenter M sur micro-ordinateur en 1980. Une conjecture stipule qu'il existe partout dans M de "petites copies" de lui-même. Le bord de M est très "touffu" ; c'est un ensemble fractal de rugosité maximale.

Pour en savoir plus sur ces ensembles remarquables quelques références parmi beaucoup d'autres :
http://math.hws.edu/eck/js/mandelbrot/MB.html
Les formes fractales dans la nature
Benoit-Mandelbrot (images des mathématiques - CNRS)
"FractInt" est un joli logiciel gratuit pour explorer les fractales.

dessin de Maurice Starck réalisé avec Cabri-Géomètre

Ce dessin est un diagramme de Venn d'ordre 5 avec un coloriage binaire.
Chaque courbe délimite deux régions du plan ; les cinq courbes partagent donc le plan en 32 régions.

La première animation montre des diagrammes de Venn symétriques, d'ordres 2 à 7 (4 à 128 régions).
La seconde a été déduite de la première : chaque courbe (d'ordre n) a été transformée par une rotation (d'angle pi/n).
Les deux droites sont alors confondues, ce qui diminue l'ordre d'une unité.

Référence : http://www.combinatorics.org/files/Surveys/ds5/VennEJC.html
Visitez les pages de Frank Ruskey, auteur de ces animations.
Vous y trouverez beaucoup d'autres informations sur ces diagrammes, et en particulier un codage des niveaux de gris.

Ce dessin illustre une transformation géométrique délaissée, l'inversion ; il s'agit d'une superposition d'un échiquier et de son inverse.
Tous les segments ne contenant pas le centre ont été transformés en arcs de cercles (le grand cercle ne sert qu'à limiter la taille du dessin, les quatre régions extérieures, images des quatre carrés centraux, étant infinies). La rosace centrale est l'image de l'extérieur de l'échiquier.

Outre le côté esthétique du dessin, le thème de l'échiquier est symbolique à bien des égards...
 

dessins de Maurice Starck réalisés avec Cabri-Géomètre

Une inversion est définie par PM'xPM=r² (P, M et M' alignés, M et M' du même côté du pôle P). L'ensemble de ses points fixes est le cercle de centre P et de rayon r (cercle d'inversion).
L'originalité de cette involution est de transformer une droite ne passant par P en un cercle passant par P, et réciproquement.
Quant aux droites passant par P, elles sont globalement invariantes.

Ainsi un quadrillage (en noir) est transformé en un pavage (en bleu) formé de deux droites et d'arcs de cercles mutuellement orthogonaux.
Le cercle d'inversion (ensemble des points fixes) est indiqué en rouge.

pavages hyperboliques : {6,4} en rouge, le dual {4,6} en bleu clair,
et en bleu foncé leurs "axes de symétrie"

dessin de Maurice Starck réalisé avec Cabri-Géomètre

Cette rosace est une figure de géométrie hyperbolique. Le modèle est le disque de Poincaré où les "droites" sont les arcs orthogonaux au bord (la somme des angles d'un triangle y est inférieure à un plat). Le dessin montre des "pavages réguliers" en hexagones (rouge), en losanges (bleu clair) et en triangles rectangles (angles de 90, 45 et 30°).

Outre son indéniable caractère esthétique, ce dessin, constitué d'une suite de polygones réguliers emboîtés, illustre un vrai problème : quelle est la limite de la suite des rayons des cercles ?

Solution trouvée sur internet (janvier 2004) : environ 8,7, ce qui correspond à la valeur "expérimentale" que l'on peut "mesurer" en remarquant que les sommets des polygones se trouvent sur des ellipses tangentes en un point commun que l'on peut "estimer" : valeur limite des rayons ≈ grand axe de la petite ellipse / rayon du petit cercle
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/GeoLimit.shtml

dessin de Maurice Starck réalisé avec Cabri-Géomètre