groupes discrets de symétries planes

isométries du plan

Ci-dessous on s'intéresse aux groupes G  d'isométries sans translation (rosace) ou dont les translations forment un sous-groupe normal T_G  engendré sur ℤ par un élément (frise) ou deux éléments indépendants (pavage). Le réseau  est l'orbite de l'origine sous l'action de T_G  (ensemble des images de l'origine par les translations) ; il est symétrique par rapport à l'origine.
Pour toute isométrie f de G  on définit l'isométrie réduite γ  admettant l'origine comme point fixe par
      si f(z)=az+b, alors γ(z)=az,   et si f(z)=az+b, alors γ(z)=az.
Ces isométries réduites  préservent le réseau  et forment le groupe réduit Γ_G  isomorphe au groupe quotient G/T_G .

les deux familles infinies de groupes de rosaces

rn = <r> = ΓR ≡ Cn   seulement n rotations

rnm = <r,m> = ΓR ≡ Dn   n rotations et n réflexions

les sept groupes de frises

	f11 = <t> ≡ C∞  ΓF = {id} ≡ C1		f1m = <t,μ> ≡ C∞×D1  ΓF = {id,μ} ≡ D1
	fm1 = <t,m>=<m',m"> ≡ D∞  ΓF = {id,m} ≡ D1		f1g = <g> ≡ C∞  ΓF = {id,μ} ≡ D1
	f12 = <t,r> = <r',r"> ≡ D∞  ΓF = {id,-id} ≡ C2		fmm = <t,r,μ> = <t,m,μ> ≡ D∞×D1  ΓF = {id,-id,m,μ} ≡ D2
	fmg = <m,r> = <r,g> = <m,g> ≡ D∞  ΓF = {id,-id,m,μ} ≡ D2	Le groupe fmg est celui de la sinusoïde.     Les sept canevas (axes et centres de symétrie) de ces groupes.

Ci-dessus r, r' et r" désignent des symétries centrales,  m, m' et m" des réflexions d'axes verticaux,  μ et g la réflexion et un glissage d'axe Δ.

les dix-sept groupes de pavages

•   Notation cristallographique : p ou c pour le réseau (primitif ou centré) et 1,m,g,n comme pour les groupes de frises (rotations r_n d'ordre maximum).
•   Notation "orbifold" (J.H. Conway) : entier n pour un ensemble de rotations r_n, * pour un ensemble de réflexions, x pour des réflexions glissées (les rotations après * ont leurs centres à des intersections d'axes de réflexions).
•   Notation de L. Fejes Tóth : W_n^p

Le rôle clef joué par les "droites fixes pour P " associées aux axes des réflexions du groupe réduit Γ_P, et donc par les familles de réflexions de P, suggère une notation plus simple et concise et plus explicite (deux dernières lignes du tableau ci-dessus) : p, g et a pour chaque famille de réflexions (pures, glissées, alternées), c_n pour l'ordre maxi n des rotations des groupes sans réflexions (s'il y a des réflexions cet ordre est le nombre de familles, soit la somme des exposants) ; on pourrait ajouter un signe - ou + pour préciser qu'il n'y pas de rotations ou des rotations non centrées sur un axe de réflexion.

Le nom de chaque groupe (notation "pga") est un lien qui ouvre une fenêtre pop-up avec un pavage (tableau ci-dessus) ou un grand échantillon du motif (dessins ci-dessous).
Sur les dessins, en gris, les petits polygones indiquent les centres et ordres des rotations, et les droites pleines/pointillées sont les axes des réflexions pures/glissées. En bleu, une base du réseau ; en vert, un système générateur du groupe.

p- = <deux m pll, une t pll> réseau rectangulaire, ΓP = D1	g- = <deux g pll> réseau rectangulaire, ΓP = D1	a- = <une m, une g pll> réseau rhombique, ΓP = D1
c1- =TP = <deux t> réseau oblique, ΓP = C1	p2 = <quatre m (rectangle)> réseau rectangulaire, ΓP = D2	pg = <une m, deux r2> réseau rectangulaire, ΓP = D2
c2+ = <trois r2> réseau oblique, ΓP = C2	g2+ = <deux g ppd> réseau rectangulaire, ΓP = D2	a2 = <deux m ppd, une r2> réseau rhombique, ΓP = D2
c4+ = <une r2, une r4> réseau carré, ΓP = C4	p2a2 = <trois m (triangle 45,45,90)> réseau carré, ΓP = D4	g2a2 = <une m, une r4> réseau carré, ΓP = D4
c3+ = <deux r3> réseau hexagonal, ΓP = C3	a3 = <trois m (triangle équilatéral)> réseau hexagonal, ΓP = D3	a3+ = <une m, une r3> réseau hexagonal, ΓP = D3
c6+ = <une r2, une r3> réseau hexagonal, ΓP = C6	a6 = <trois m (triangle 30,60,90)> réseau hexagonal, ΓP = D6	Les 17 canevas (axes des réflexions et centres des rotations) des groupes de pavages.

La méthode et les nouveaux résultats exposés sur cette page sont largement inspirés par un travail de recherche d'un ami cher, Georges Lion (1936-2014) :
DISCRETE GROUPS OF PLANE ISOMETRIES - A new classification and their representations as Wallpaper groups. (Georges Lion, 2010)

Evgraf S. Fedorov a décrit les 17 groupes en 1891.
Les artistes égyptiens connaissaient 12 de ces types de pavages ; les cinq groupes absents sont ceux avec des symétries d'ordre 3.
Des exemples de 13 de ces 17 types de pavage apparaissent sur les mosaïques du palais de l'Alhambra près de Grenade en Espagne (architecture du Moyen Âge islamique où les motifs animaliers ou humains étaient interdits) ; les quatre groupes absents sont g-, c₂+, g²+ et a³.
On trouve aussi de nombreux exemples de pavages avec des dessins figuratifs dans l'œuvre de Maurits Cornelis Escher.

Concernant les pavages isoédriques  ou pavé-transitifs  (pour toute paire de pavés il existe une isométrie du groupe qui transforme l'un en l'autre, les pavés sont donc tous identiques), ce n'est qu'en 1968 que H. Heesch a caractérisé 28 types de pavés asymétriques qui pavent le plan. Ce résultat, "oublié" pendant près d'un demi-siècle, a été "nettoyé" par John Conway et Xavier Hubaut (voir dernière référence) : les 28 types ont été réduits à 19, car certains types sont des cas particuliers d'autres. Pour 15 des 17 groupes un seul type de pavé est associé au groupe, et pour chacun des deux groupes ne contenant que des réflexions glissées il y en a deux.
Vous pouvez voir des exemples de pavages dans les fenêtres pop-up accessibles depuis la table (un pavé marqué est nécessaire pour a³).

les pavages avec des polygones convexes

ces images viennent de là et là
une belle animation pour explorer les quinze types
Wikipedia est aussi une bonne référence (en anglais)

d'autres pavages du plan    

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février 2007 mis à jour 18-06-2023