les polytopes réguliers

Les polytopes réguliers sont les analogues, en dimension supérieure à trois, des polyèdres réguliers en dimension trois et des polygones réguliers en dimension deux. Un polyèdre régulier est un assemblage de polygones réguliers, les faces, deux faces voisines ayant une arête en commun. De même les 4D-polytopes réguliers, décrits par Schläfli, sont des assemblages de polyèdres réguliers, les cellules, deux cellules voisines ayant une face en commun.

Voici les caractéristiques des six 4D-polytopes réguliers convexes (il en existe aussi dix étoilés).
Avec au moins trois cellules autour de chaque arête il n'y a que six possibilités : 3, 4 ou 5 tétraèdres, 3 cubes, 3 octaèdres et 3 dodécaèdres.
Ils vérifient tous une formule d'Euler :  S + F = A + C

Le simplex et le 24-cell sont leurs propres duals. L'hypercube (aussi appelé tesséract) et le 16-cell sont duals, le 120-cell et le 600-cell aussi.

nom
simplex (5-cell)
hypercube (8-cell)
16-cell
24-cell
120-cell
600-cell
cellules
5 = d+1  tétraèdres
8 = 2d  cubes
16 = 2d  tétraèdres
24  octaèdres
120  dodécaèdres
600  tétraèdres
faces
10
24
32
96
720
1200
arêtes
10
32
24
96
1200
720
sommets
5
16
8
24
600
120

Mais comment représenter un polytope ?  De la même manière qu'un polyèdre : par projection sur un hyperplan, ce qui permet d'abaisser la dimension d'une unité ; on obtient une représentation qui ne préserve pas toute la régularité (cf perspective).
Voici des représentations (diagrammes de Schlegel) et des patrons des quatre 4D-polytopes les plus simples. N'oubliez pas qu'en dimension quatre ils sont réguliers, en particulier toutes leurs arêtes ont même longueur et celles de l'hypercube sont mutuellement perpendiculaires. Pour les deux derniers c'est bien plus compliqué.


Le 120-cell - équivalent du dodécaèdre régulier en 3D - est limité par 120 cellules (dodécaèdres réguliers), quatre par sommet, trois par arête et deux par face. Cette structure est une approximation d'une hypersphère de 4D (tout comme les 12 faces du dodécaèdre régulier constituent une approximation d'une sphère en 3D).
Le puzzle à droite est un éclaté d'une projection orthogonale en 3D du 120-cell ; il est composé de 1+12+20+12=45 dodécaèdres : seul le premier - au centre - est régulier, les autres sont plus ou moins aplatis (déformations dues à la projection de 4D sur un 3D-hyperplan) et disposés en trois couches successives.
Les projections des 30 cellules orthogonales à l'hyperplan de projection sont les faces hexagonales (dodécaèdres aplatis) du dodécaèdre chanfreiné qui contient l'assemblage des 45 pièces.

Plus précisément, le dodécaèdre bleu est la projection de la cellule la plus proche (un pôle de l'hypersphère) ; les trois couches (dodécaèdres verts, bruns et orange) correspondent à des cellules situées sur un même parallèle de l'hypersphère ; les dodécaèdres aplatis en hexagones gris correspondent aux cellules situées sur l'équateur.
Deux cellules symétriques par rapport à l'équateur ont même projection.
 
Remarques :
Un 4D-parallèle (4D-cercle) est une sphère en 3D, d'où les couches sphériques de dodécaèdres déformés dans la projection.
Mais comment un dodécaèdre peut-il être aplati en hexagone ? Pour le visualiser, utilisez votre souris pour superposer deux arêtes opposées au centre de la figure : 4 faces sont réduites à des segments, les 8 autres sont superposées par paires.

Merci à Arnaud Chéritat qui m'a gentiment envoyé les données pour cette animation,
et à Nicolas Hannachi qui les a transformées avec Mathematica pour les rendre utilisables avec LiveGraphics3D.

Voici deux vidéos (YouTube, en anglais) pour mieux comprendre les structures de deux polytopes en 4D :
    • the tesseract  (hypercube) de Vladimir Panfilov (1'38 - 4,3 Mo)
    • the 120-cell  (hyperdodécaèdre) de Gian Marco Todesco (2'15 - 9 Mo)
Le 120-cell peut être considéré comme une imbrication de 12 anneaux de 10 dodécaèdres ; voici deux animations (rotations en 4D) réalisées par Roice Nelson en utilisant "120 Cell Explorer" (voir références) qui montrent 6 de ces anneaux, soit 60 des 120 dodécaèdres :
    • la première (0'14 - 0,9 Mo) montre la richesse des symétries du 120-cell
    • la seconde (0'15 - 0,8 Mo) présente un point de vue différent.

Il y a seulement trois polytopes réguliers convexes - avec respectivement d+1, 2d et 2d hyperfaces - pour chaque dimension supérieure à quatre (cf les trois premières lignes du tableau). Le premier est autodual, les deux autres sont duals.
Remarque : les caractéristiques du nD-hypercube peuvent être déduites des coefficients du polynôme  (1+2x),
        ainsi   (1+2x)4 = 1 + 8x + 24x2 + 32x3 + 16x4   correspond à la seconde ligne du tableau.

références : •  Pour comprendre et visualiser la 4e dimension regardez les vidéo-animations proposées par dimensions-math (2 heures de belles mathématiques !) ; vous y apprendrez aussi - avec une preuve élémentaire - ce qu'est une projection stéréographique.
•  Deux autres approches : 4D Visualization  (en anglais) et La quatrième dimension  (Micmaths sur YouTube, en français), un ensemble de quatre vidéos (définition - représentation - curiosités - hypercube) par Mickaël Launay
•  les 4D-polytopes sur Wikipedia (version en anglais)
•  Pour manipuler des 4D-polytopes - du moins leurs projections en 3D - il vous faut Stella4D, le remarquable programme de Robert Webb.
•  The Tesseract  par Alex Bogomolny (avec des applets interactifs)
•  Le 120  (hyperdodécaèdre) de Arnaud Chéritat
•  "120 Cell Explorer" vous permettra de découvrir et manipuler le 120-cell
•  Die Platonischen Polychora  par Marco Möller (en allemand)
•  Regular 4d Polytope Foldouts  par Andrew Weimholt
•  Images pour les mathématiques: 4D géométrie (avec animations)  en anglais, italien, espagnol
•  Barn Raisings of Four-Dimensional Polytope Projections  par George W.Hart
•  FLATLAND  : fiction géométrique de Edwin A. Abbott (1884) qui présente un monde à deux dimensions (elle a inspiré au moins deux films d'animation)


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anglais
polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes octobre 1999
mis à jour 18-01-2016