des polyèdres flexibles

de Bricard à Connelly

Les octaèdres de Bricard (1897) : assemblages de deux "pyramides carrées", ils ont des faces qui se coupent et ne peuvent donc être réalisés que comme structures articulées de douze "arêtes" (Raoul Bricard était un ingénieur français)

La "sphère" de Connelly (1978) est le premier exemple de polyèdre flexible non croisé ; un modèle simplifié par Kuiper et Deligne a 18 faces et 11 sommets.

Deux résultats importants concernant les polyèdres flexibles :
  • Un polyèdre convexe est rigide. (conjecture de rigidité proposée par Euler en 1766, prouvée pour les polyèdres convexes par Cauchy en 1813).
  • Lors de la déformation d'un polyèdre flexible son volume reste constant. (conjecture du soufflet, Connelly-Sabitov-Walz, 1997)

le polyèdre flexible de Steffen

Klaus Steffen a construit une sphère polyédrale flexible de Connelly symétrique. Il est intéressant de construire son propre modèle de ce curieux objet qui est le polyèdre flexible non croisé le plus simple (14 faces triangulaires et 9 sommets).

patron

 
patron de Peter R. Cromwell

L'applet LiveGraphics3D a quelques difficultés pour bien afficher des faces qui sont presque coplanaires.

l'icosaèdre orthogonal de Jessen

Ce polyèdre "branlant" - flexible de manière infinitésimale - peut être construit en remplaçant six paires de triangles équilatéraux d'un icosaèdre régulier par des paires de triangles isocèles ; les bases des triangles isocèles sont les grands côtés de trois rectangles deux à deux orthogonaux et dont le rapport des côtés est 2.
Il peut être très légèrement déformé en agissant sur les angles des paires de triangles isocèles.
Tous ses angles dièdres sont droits (des faces adjacentes sont orthogonales).
Les centres des huit faces équilatérales restantes sont les sommets d'un cube (utiliser la touche F pour le voir).
Attention ! l'enveloppe convexe est un icosaèdre non régulier parfois appelé pseudo-icosaèdre ; il a aussi six autres paires de faces isocèles et seulement trois plans de symétrie.
Remarque : Si on réalise cet icosaèdre en papier (faces non rigides) on peut replier les triangles isocèles par paires à l'intérieur pour obtenir un octaèdre régulier.

Paul Mason a découvert un autre polyèdre branlant : cinq pyramides carrées et un antiprisme carré assemblés sur un cube "fil de fer".

un autre polyèdre flexible (l'ico2octa de Melinda Green) ?

poly flexible
Ce deltaèdre est l'assemblage d'une paire d'octaèdres avec un "trou" correspondant à deux faces adjacentes, et d'un icosaèdre avec un "trou" du même type ; il a donc (8-2)x2 + (20-2) = 30 faces, 30 sommets et 45 arêtes. Si les deux composants sont clairement flexibles, ce pas évident pour le polyèdre final ; il suffit cependant de pincer deux sommets opposés communs aux deux composants pour s'en convaincre.

Mais un constat n'est pas une preuve ! Melinda suggère de demander la démonstration à ChatGPT ou une IA concurrente.
références : •  le polyèdre de Steffen sur MathWorld et sur mathematik.com (en anglais)
•  Rigidity of Polyhedra  pages web en anglais (Université McGill - Montréal, illustrées par J.Shum)
•  The Bellows Conjecture  par Ian Stewart
•  Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet  de Thierry Lambre (bulletin 471 de l'APMEP, page 533)
•  Polyhedra  de Peter R. Cromwell (Cambridge University Press - 1997, page 239-246, en anglais)
•  Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques  de David Wells (éditions Eyrolles - 1997, pages 150-151)
•  How "shaky" is the Jessen's orthogonal icosahedron?


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes novembre 2003
mis à jour 19-12-2023