•  assemblages de triangles et de carrés

8 triangles et 2 carrés poly 1 antiprisme carré
(on assemble deux pièces pour créer un anneau de triangles tête-bêche) 		2 triangles et 3 carrés poly 2 prisme triangulaire 4 triangles et 3 carrés poly 3 assemblage
prisme-tétraèdre 		4 triangles et 5 carrés poly 5 assemblage
cube-pyramide
3 triangles et 4 carrés :  impossible !  pour l'assemblage on crée une arête en superposant DEUX côtés de faces adjacentes ; le nombre de côtés DOIT donc être PAIR (ici ce nombre est impair : 3x3 + 4x4 = 25)

 •  ombres de polyèdres

Les polyèdres suivants peuvent produire une ombre carrée :
  - cube, cube tronqué, cuboctaèdre, tétraèdre et octaèdre réguliers, dodécaèdre rhombique,
  - prismes à section carrée, prisme triangulaire avec faces latérales carrées,
  - pyramides à base carrée (projection du sommet à l'intérieur de la base) et diamants carrés (assemblages de deux telles pyramides),
Les polyèdres suivants peuvent produire une ombre hexagonale régulière :
  - prismes à section hexagonale, cube, octaèdre régulier, dodécaèdre rhombique,
  - pyramides à base hexagonale régulière (projection du sommet à l'intérieur de la base) et diamants hexagonaux (assemblages de deux telles pyramides à bases régulières).
Il y en a bien d'autres !  Pour en créer de nouveaux il suffit par exemple d'ajouter des faces qui ne modifient pas l'ombre portée.

 •  coupes d'un cube

• Pour obtenir un carré il faut utiliser un plan parallèle à une face.
• Pour obtenir un triangle équilatéral (resp. un hexagone régulier) il faut utiliser un plan orthogonal à une diagonale du cube qui coupe trois arêtes issues d'un même sommet (resp. passe par les milieux de six arêtes consécutives formant un "anneau gauche").
• Mais on ne peut pas obtenir un pentagone régulier. Pour le prouver utilisons le théorème des tiroirs : Si n tiroirs contiennent plus de n objets, alors au moins un tiroir contient plus d'un objet. Nos tiroirs sont les trois directions des faces du cubes et nos objets les cinq côtés du pentagone. Puisque l'intersection d'un plan avec deux plans parallèles est une paire de droites parallèles, au moins un de nos tiroirs contient deux cotés parallèles. Impossible ! le pentagone régulier n'a pas de côtés parallèles.
Les coupes pentagonales d'un cube ont deux paires de côtés parallèles (nos "tiroirs" peuvent contenir au plus deux côtés). De même les coupes à quatre côtés sont des trapèzes (au moins un "tiroir" contient deux côtés).

 •  un joli polyèdre équifacial

Le polyèdre a 24 faces identiques en forme de cerf-volant, chacune déterminée par une des 3x8 coupes. Ses arêtes et ses sommets appartiennent aux plans et axes de symétrie du cube.
Il y a des coupes transversales (en deux polyèdres symétriques) intéressantes : trois parallèles aux faces du cube qui sont des octogones réguliers, et quatre perpendiculaires aux diagonales du cube qui sont des hexagones réguliers.

Son volume est le tiers de celui du cube (preuve détaillée).

Patron à télécharger (A5 demi-patron).