le polyèdre flexible de Steffen

En 1766 Euler proposa la "conjecture de rigidité" et Cauchy la prouva pour les polyèdres convexes en 1813.
Klaus Steffen a construit une sphère polyédrale flexible de Connelly symétrique. Il est intéressant de construire son propre modèle de ce curieux objet qui est le polyèdre flexible le plus simple (14 faces triangulaires et 9 sommets).

patron

 
patron de Peter R. Cromwell

L'applet LiveGraphics3D a quelques difficultés pour bien afficher des faces qui sont presque coplanaires.

Deux résultats importants concernant les polyèdres flexibles :
  • Un polyèdre convexe est rigide. (théorème de rigidité de Cauchy, 1813)
  • Lors de la déformation d'un polyèdre flexible son volume reste constant. (conjecture du soufflet, Connelly-Sabitov-Walz, 1997)

  • les octaèdres de Bricard (1897) : assemblages de deux "pyramides carrées", ils ont des faces qui se coupent et ne peuvent donc être réalisés que comme structures articulées de douze "arêtes" (Raoul Bricard était un ingénieur français)
  • la"sphère" de Connelly (1978) utilise l'idée de Bricard pour éviter les intersections de faces (un modèle simplifié par Kuiper et Deligne a 18 faces et 11 sommets).
  • l'icosaèdre orthogonal de Jessen est flexible de manière infinitésimale (polyèdre "branlant")

références : •  Rigidity of Polyhedra  pages web en anglais (Université McGill - Montréal, illustrées par J.Shum)
•  Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet  de Thierry Lambre (bulletin n° 471 de l'APMEP, page 533)
•  Polyhedra  de Peter R. Cromwell (Cambridge University Press - 1997, page 239, en anglais)
•  le polyèdre de Steffen sur MathWorld et sur mathematik.com (en anglais)


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes octobre 2007
mis à jour 27-10-2007