l'icosaèdre orthogonal de Jessen

Ce polyèdre "branlant" - flexible de manière infinitésimale - peut être construit en remplaçant six paires de triangles équilatéraux d'un icosaèdre régulier par des paires de triangles isocèles ; les bases des triangles isocèles sont les grands côtés de trois rectangles deux à deux orthogonaux et dont le rapport des côtés est 2.
Il peut être très légèrement déformé en agissant sur les angles des paires de triangles isocèles.
Tous ses angles dièdres sont droits (des faces adjacentes sont orthogonales).
Les centres des huit faces équilatérales restantes sont les sommets d'un cube (utiliser la touche F pour le voir).
Attention ! l'enveloppe convexe est un icosaèdre non régulier parfois appelé pseudo-icosaèdre ; il a aussi six autres paires de faces isocèles et seulement trois plans de symétrie.
Remarque : Si on réalise cet icosaèdre en papier (faces non rigides) on peut replier les triangles isocèles par paires à l'intérieur pour obtenir un octaèdre régulier.

Paul Mason a découvert un autre polyèdre branlant : cinq pyramides carrées et un antiprisme carré assemblés sur un cube "fil de fer".

Deux résultats importants concernant les polyèdres flexibles :
  • Un polyèdre convexe est rigide. (théorème de rigidité de Cauchy, 1813)
  • Lors de la déformation d'un polyèdre flexible son volume reste constant. (conjecture du soufflet, Connelly-Sabitov-Walz, 1997)

d'autres polyèdres flexibles

  • les octaèdres de Bricard : assemblages de deux "pyramides carrées", ils ont des faces qui se coupent et ne peuvent donc être réalisés que comme structures articulées de douze "arêtes"
  • la "sphère" de Connelly utilise l'idée de Bricard pour éviter les intersections de faces
  • le polyèdre de Steffen : avec 9 sommets et 14 faces triangulaires c'est le plus simple
 
références : •  Rigidity of Polyhedra  pages web en anglais (Université McGill - Montréal, illustrées par J.Shum)
•  Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques  de David Wells (éditions Eyrolles - 1997, pages 150-151)
•  Les polyèdres flexibles et la conjecture du soufflet  de Thierry Lambre (bulletin 471 de l'APMEP, page 533)
•  The Bellows Conjecture  par Ian Stewart
•  Polyhedra  de Peter R. Cromwell (Cambridge University Press - 1997, page 239, en anglais)
•  How "shaky" is the Jessen's orthogonal icosahedron?

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anglais 		polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes novembre 2003
mis à jour 05-08-2013