les polyèdres de Goldberg

Problème : On "ouvre" deux bipyramides régulières de même ordre n en dédoublant un sommet de la base commune ; peut-on imbriquer ces deux ensembles de 2n triangles équilatéraux, orthogonalement l'un à l'autre, pour réaliser un deltaèdre à 4n faces ?
Il faut que la hauteur 2h de l'une des "bipyramides ouvertes" soit égale à la largeur 2d de l'ouverture de l'autre (arêtes de longueur 1).
Réponse de Michael Goldberg (1978) : Oui pour les trois configurations !

ordre 3 : d = h = 0,64459... (deltaèdre convexe D12)

ordre 4 : d = h = 0,42394...

Les calculs montrent que, dans la configuration d'ordre 5, on obtient un icosaèdre tristable (avec deux positions symétriques) ; si on "écrase" légèrement une des "bipyramides" selon son axe pour diminuer sa hauteur, la hauteur de l'autre augmente :

d1 = 0.071..., h1 = 0.49...
d2 = h2 = 0,327267...
d3 = 0.49..., h3 = 0.071...

Si, dans la configuration d'ordre 3, on remplace les triangles équilatéraux par des triangles isocèles (d'angle au sommet légèrement supérieur à 103°), on obtient un dodécaèdre tristable.

références : •  Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques  de David Wells (éditions Eyrolles - 1997)  page 151
•  Polyhedra  de Peter R. Cromwell (Cambridge University Press - 1997) pages 222-224 (en anglais)


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polyèdres convexes - polyèdres non convexes - polyèdres intéressants - sujets connexes novembre 2003
mis à jour 13-12-2003